1. Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость а. В а. Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС, параллельна плоскости а.
Для начала, рассмотрим треугольник АВС и плоскость а, проведенную через сторону АС. По определению, плоскость а ౼ это множество точек, находящихся на одной линии, которая лежит в одной плоскости. Теперь, рассмотрим прямую, проходящую через сторону АВ и ВС треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что эта прямая параллельна плоскости а, нам нужно показать, что все точки этой прямой лежат вне плоскости а. Пусть у нас есть точка М, лежащая на этой прямой. Мы знаем, что эта точка принадлежит отрезку АВ и отрезку ВС. Допустим, что эта точка также принадлежит плоскости а. Теперь рассмотрим треугольник АМС, который образуется прямой, проходящей через АВ и ВС, и плоскостью а. Так как точка М лежит и на прямой, и в плоскости, то она лежит в пересечении этих двух фигур. Но по определению, пересечение прямой и плоскости — это точка, а не отрезок. Значит, точка М не может одновременно принадлежать и прямой, и плоскости. Таким образом, точки этой прямой не могут принадлежать плоскости а.
Следовательно, мы доказали, что прямая, проходящая через сторону АВ и ВС треугольника АВС, параллельна плоскости а.2. Дан Д МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК – в точке К1. Найдите М1К1, если МР ⁚ M1P 12 ⁚ 5, МК 18 см.
Для решения данной задачи воспользуемся пропорциональностью отрезков в подобных треугольниках.Дано, что МР ⁚ M1P 12 ⁚ 5. Предположим, что рассматриваемая плоскость параллельна прямой МК, то есть треугольники МРК и М1К1 подобны.Так как треугольники подобны, то отношение длин соответствующих сторон будет равно⁚
МР ⁚ M1K1 М1P ⁚ К1К.Из условия задачи мы знаем٫ что МК 18 см. Подставим все известные значения⁚
М1P ⁚ К1К 12 ⁚ 5,
МР М1P 5 12 5 17,
М1K1 МР · К1К / М1P 17 · 18 / 12 25٫5.
Таким образом, длина отрезка М1К1 равна 25,5 см.3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD || ВС). Докажите, что прямая, проходящая через середины РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и трапеций. По условию, точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD. Пусть M и N ౼ середины отрезков РВ и РС соответственно. Заметим, что прямая MN является средней линией трапеции ABCD, так как проходит через середины двух параллельных сторон. Докажем, что прямая, проходящая через середины РВ и РС, параллельна прямой MN. Для этого рассмотрим треугольники РВN и РСN. Очевидно, что эти треугольники вершинами общие с треугольником МН. Кроме того, сторона РВ параллельна стороне РС и стороне МН. Поэтому треугольники РВN и РСN подобны треугольнику МН.
Так как треугольники подобны, то угол между прямыми РВ и РС будет равен углу между прямыми РВN и РСN.
Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.