Привет! Сегодня я расскажу тебе о решении нескольких задач по векторной алгебре. Для начала давай рассмотрим задачу номер один.1. Даны точки А(-13; -16; -30) и В(-7; 0; -2). Нам нужно найти длину отрезка АВ и координаты его середины.
Для нахождения длины отрезка АВ нам потребуется формула расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом⁚
d √((x2 ౼ x1)^2 (y2 ౼ y1)^2 (z2 ౼ z1)^2),
где d ౼ длина отрезка, А(x1; y1; z1) и В(x2; y2; z2) ౼ координаты точек.Подставим значения координат в формулу и вычислим⁚
d √((-7 ⎯ (-13))^2 (0 ⎯ (-16))^2 (-2 ౼ (-30))^2) √(6^2 16^2 28^2) √(36 256 784) √(1076) ≈ 32.8.Таким образом, длина отрезка АВ составляет примерно 32.8.Для нахождения координат середины отрезка АВ мы можем использовать формулу средней точки⁚
xср (x1 x2) / 2,
yср (y1 y2) / 2,
zср (z1 z2) / 2.Подставляя значения координат в формулу, получаем⁚
xср (-13 (-7)) / 2 (-20) / 2 -10,
yср (-16 0) / 2 -8,
zср (-30 (-2)) / 2 (-32) / 2 -16.
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (-10; -8; -16).
Перейдем к решению второй задачи.2. Даны точки F(2; -3; 0), G(7; -5; 4) и N(-3; -1; 4). Нам нужно найти координаты векторов FG и GN, модуль вектора FG, координаты вектора d -2FG 3GN и вид угла между векторами FG и GN.
Для нахождения координат векторов FG и GN мы можем использовать разность координат точек. То есть, для вектора FG⁚
x_FG x_G ౼ x_F 7 ౼ 2 5٫
y_FG y_G ⎯ y_F -5 ౼ (-3) -2,
z_FG z_G ⎯ z_F 4 ౼ 0 4.Аналогично для вектора GN⁚
x_GN x_N ⎯ x_G -3 ౼ 7 -10,
y_GN y_N ⎯ y_G -1 ౼ (-5) 4,
z_GN z_N ౼ z_G 4 ⎯ 4 0.Таким образом, координаты вектора FG равны (5; -2; 4), а координаты вектора GN равны (-10; 4; 0).Для нахождения модуля вектора FG нам нужно взять квадратный корень из суммы квадратов его координат⁚
|FG| √(x_FG^2 y_FG^2 z_FG^2) √(5^2 (-2)^2 4^2) √(25 4 16) √45 ≈ 6.7.Таким образом, модуль вектора FG примерно равен 6.7.Для нахождения координат вектора d мы должны подставить значения в формулу⁚
d -2FG 3GN -2(5; -2; 4) 3(-10; 4; 0) (-10; 4; -8) (-30; 12; 0) (-40; 16; -8).Таким образом, координаты вектора d равны (-40; 16; -8).Наконец, для нахождения вида угла между векторами FG и GN мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения векторов⁚
cos(α) (FG · GN) / (|FG| * |GN|),
где α ౼ угол между векторами, (FG · GN) ౼ скалярное произведение векторов, |FG| и |GN| ⎯ модули векторов.Подставляя значения в формулу, получаем⁚
cos(α) ((5; -2; 4) · (-10; 4; 0)) / (6.7 * 10) (5 * (-10) (-2) * 4 4 * 0) / (6.7 * 10) (-50 ⎯ 8) / (6.7 * 10) -58 / 67 ≈ -0.866,
где ″·″ ౼ обозначает операцию скалярного произведения.
Поскольку косинус угла между векторами отрицательный, а его значение по модулю меньше единицы, можно сделать вывод, что угол между векторами FG и GN является тупым углом.Перейдем к решению третьей задачи.3. Нам даны два вектора⁚ A(2; -1; 8) и B(-10; x; -40). Нам нужно определить, при каком значении переменной x эти два вектора будут перпендикулярными (т.е. образуют прямой угол) и коллинеарными (т.е. параллельны).
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. То есть, A · B 0⁚
2 * (-10) (-1) * x 8 * (-40) 0,
-20 ౼ x ⎯ 320 0,
-340 ౼ x 0,
x -340.Таким образом, при x -340 вектора A(2; -1; 8) и B(-10; x; -40) будут перпендикулярными;Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны. То есть, каждая координата одного вектора должна быть равна соответствующей координате другого вектора, умноженной на некоторое число. В данном случае, множитель будет равен -1/10:
-10 / 2 x / (-1) -40 / 8,
-5 -x / 10 -5٫
x 10.
Таким образом, при x 10 вектора A(2; -1; 8) и B(-10; x; -40) будут коллинеарными.
Перейдем к решению четвертой задачи.4. Нам нужно найти угол между прямыми АВ и CD, если точки А(1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(2; -2; 2) и D(2; -3; 1) лежат на этих прямых.
Прямые в трехмерном пространстве задаются параметрически. Параметрическое уравнение прямой можно записать в виде⁚
х х0 at,
у у0 bt,
z z0 ct,
где (х0; у0; z0) ౼ координаты точки на прямой, а (a; b; c) ⎯ направляющий вектор прямой.Найдем направляющие векторы прямых АВ и CD⁚
для прямой АВ⁚ (а; b; c) (0 ౼ 1; 1 ౼ 1; 1 ౼ 2) (-1; 0; -1),
для прямой CD⁚ (а; b; c) (2 ⎯ 2; -3 ౼ (-2); 1 ⎯ 2) (0; -1; -1).Для нахождения угла между векторами используем формулу⁚
cos(α) (AB · CD) / (|AB| * |CD|),
где α ⎯ угол между векторами, (AB · CD) ౼ скалярное произведение векторов, |AB| и |CD| ⎯ модули векторов.Подставим значения в формулу⁚
cos(α) ((-1; 0; -1) · (0; -1; -1)) / (√((-1)^2 0^2 (-1)^2) * √(0^2 (-1)^2 (-1)^2)) (-1 * 0 0 * (-1) (-1) * (-1)) / (√2 * √2) 1 / 2.Таким образом, cos(α) 1 / 2. Для нахождения угла α применяем обратную функцию косинуса⁚
α arccos(1 / 2) ≈ 60°.
Таким образом, угол между прямыми АВ и CD составляет примерно 60 градусов.
Таково решение задач по векторной алгебре! Надеюсь, эта информация была полезной для тебя. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!