1. Для решения задачи нам потребуются координаты точек A‚ B‚ C и D⁚
A(3; 0; 3)‚ B(0; -3; 1)‚ C(-1; 2; 1)‚ D(4; 4; -2).a) Найдем координаты векторов AB и CD⁚
Вектор AB (координаты точки B ― координаты точки A) (0-3; -3-0; 1-3) (-3; -3; -2).Вектор CD (координаты точки D ― координаты точки C) (4-(-1); 4-2; -2-1) (5; 2; -3).b) Найдем координаты вектора a AB CD и вектора b AB ― CD⁚
Вектор a AB CD (-3 5; -3 2; -2-3) (2; -1; -5).Вектор b AB ― CD (-3-5; -3-2; -2 3) (-8; -5; 1).c) Найдем длину векторов a и b⁚
Длина вектора a (|a|) √(2^2 (-1)^2 (-5)^2) √(4 1 25) √30.Длина вектора b (|b|) √((-8)^2 (-5)^2 1^1) √(64 25 1) √90.г) Найдем скалярное произведение векторов AB и CD‚ а также векторов a и b⁚
Скалярное произведение векторов AB и CD (AB · CD) (-3*5) (-3*2) (-2*-3) -15 ─ 6 6 -15.Скалярное произведение векторов a и b (a · b) (2*-8) (-1*-5) (-5*1) -16 5 ― 5 -16.2. Для решения задачи нам потребуются координаты точек K‚ M и N⁚
K(5; -1; -3)‚ M(1; 6; 2)‚ N(9; 6; 2).a) Найдем координаты середины стороны KM⁚
Середина стороны KM ((координаты точки K координаты точки M) / 2) ((5 1)/2; (-1 6)/2; (-3 2)/2) (3; 2.5; -0.5).б) Найдем длины сторон треугольника и определим его вид⁚
Сторона KM √((5-1)^2 (-1-6)^2 (-3-2)^2) √(16 49 25) √90.
Сторона MK √((1-5)^2 (6 1)^2 (2 3)^2) √(16 49 25) √90.
Сторона KN √((9-5)^2 (6 1)^2 (2 3)^2) √(16 49 25) √90.Так как все стороны треугольника равны‚ то треугольник КММ является равносторонним.в) Найдем косинус угла М и определим его вид⁚
Угол М arccos((КМ^2 МК^2 ─ KN^2) / (2*КМ*МК)) arccos((90 90 ─ 90) / (2*√90*√90)) arccos(0/180) 90 градусов.Так как угол М равен 90 градусов‚ то он является прямым углом.В итоге получаем⁚
а) Координаты середины стороны КМ⁚ (3; 2.5; -0.5).
б) Длины сторон треугольника⁚ КМ МК КN √90. Треугольник КММ ― равносторонний.
в) Косинус угла М⁚ 90 градусов. Угол М ― прямой.