№ 1. Даны точки А(7;1), В(-3;-5), С(-11;-3), Д(1;9). Найдем необходимые значения⁚
а) Координаты вектора АВ можно найти, вычислив разность координат точек В и А⁚
Вектор АВ (x2 ౼ x1; y2 ⎻ y1) (-3 ⎻ 7; -5 ౼ 1) (-10; -6).
Координаты вектора СД можно найти, вычислив разность координат точек Д и С⁚
Вектор СД (x4 ౼ x3; y4 ⎻ y3) (1 ⎻ -11; 9 ౼ -3) (12; 12).б) Длину вектора АС можно найти с помощью формулы длины вектора⁚
Длина вектора АС √((x2 ⎻ x1)^2 (y2 ⎻ y1)^2) √((-11 ౼ 7)^2 (-3 ⎻ 1)^2) √((-18)^2 (-4)^2) √(324 16) √340.в) Координаты точки О – середины отрезка АД, можно найти, найдя среднее арифметическое от соответствующих координат точек А и Д⁚
x_О (x1 x4) / 2 (7 1) / 2 8 / 2 4.
y_О (y1 y4) / 2 (1 9) / 2 10 / 2 5. Таким образом, координаты точки О равны (4; 5). Координаты точки К – середины отрезка ВС можно найти, найдя среднее арифметическое от соответствующих координат точек В и С⁚
x_К (x2 x3) / 2 (-3 -11) / 2 -14 / 2 -7.
y_К (y2 y3) / 2 (-5 -3) / 2 -8 / 2 -4. Таким образом, координаты точки К равны (-7; -4).г) Длину отрезка ОК можно найти с помощью формулы длины вектора⁚
Длина вектора ОК √((x_К ౼ x_О)^2 (y_К ⎻ y_О)^2) √((-7 ౼ 4)^2 (-4 ౼ 5)^2) √((-11)^2 (-9)^2) √(121 81) √202.д) Уравнение окружности с диаметром АС можно найти٫ используя формулу⁚
(x ⎻ x_О)^2 (y ౼ y_О)^2 r^2,
где (x_О, y_О) – координаты центра окружности, r – радиус окружности. Так как точка О является серединой отрезка АС, то радиус окружности будет равен половине длины отрезка АС, то есть r √340 / 2 √85. Подставив координаты точки О в уравнение окружности٫ получаем⁚
(x ⎻ 4)^2 (y ౼ 5)^2 (√85)^2٫
(x ౼ 4)^2 (y ౼ 5)^2 85;е) Уравнение прямой СД можно найти, используя формулу⁚
y kx b,
где k – коэффициент наклона прямой, b – коэффициент сдвига. Найдем коэффициент наклона k⁚
k (y4 ⎻ y3) / (x4 ⎻ x3) (9 ⎻ -3) / (1 ౼ -11) 12 / 12 1. Найдем коэффициент сдвига b, подставив одну из точек (например, Д) и значение k в формулу⁚
9 1 * 1 b,
b 9 ౼ 1 8. Таким образом, уравнение прямой СД будет иметь вид⁚
y x 8.№ 2; Даны точки С(1;2) и М(-4;-3)٫ а также информация о том٫ что М является серединой отрезка СВ. Найдем координаты точки В.Так как М является серединой отрезка СВ٫ то средняя арифметическая координат точек С и В будет равна координатам точки М⁚
x_В (xС xМ) / 2 (1 -4) / 2 -3 / 2 -1.5.
y_В (yС yМ) / 2 (2 -3) / 2 -1 / 2 -0.5.
Таким образом, координаты точки В равны (-1.5; -0.5).№ 3. Дано уравнение прямой 9x 4y 2 0. Необходимо проверить, принадлежит ли точка К(-1;2) данной прямой.Для этого подставим координаты точки К в уравнение прямой и проверим равенство⁚
9 * -1 4 * 2 2 -9 8 2 1 ≠ 0.
Так как равенство не выполняется, можно сделать вывод, что точка К (-1;2) не принадлежит прямой 9x 4y 2 0.