Привет! Меня зовут Алексей, и сегодня я расскажу тебе о том, как найти уравнения прямых и угол между ними, а также проверить параллельность и перпендикулярность прямых;1. Даны точки A(6;-2;1), B(-2;.3;0), C(3; -1; 7), D(5;1; -4). Для составления уравнений прямых AB и CD воспользуемся формулой⁚
(x ─ x₁)/(x₂ ౼ x₁) (y ౼ y₁)/(y₂ ─ y₁) (z ─ z₁)/(z₂ ౼ z₁),
где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) ─ координаты двух точек на прямой. Уравнение прямой AB⁚
(x ౼ 6)/(-2 ౼ 6) (y ౼ (-2))/(0.3 ─ (-2)) (z ౼ 1)/(1 ─ 0)٫
упростим это уравнение⁚
(x ─ 6)/(-8) (y 2)/2,6 z ─ 1. Уравнение прямой CD⁚
(x ─ 3)/(5 ─ 3) (y ─ (-1))/(1 ౼ (-1)) (z ౼ 7)/(-4 ౼ 7),
упростим это уравнение⁚
(x ౼ 3)/2 (y 1)/2 (z ౼ 7)/(-11).2. Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, воспользуемся формулой⁚
cos θ |a₁ * b₁ a₂ * b₂ a₃ * b₃| / (sqrt(a₁² a₂² a₃²) * sqrt(b₁² b₂² b₃²)),
где (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃) ─ направляющие векторы прямых. Направляющие векторы прямых AB и CD можно найти как разность координат⁚
AB⁚ (-2 ─ 6, 0.3 ─ (-2), 0 ౼ 1) (-8, 2.3, -1),
CD⁚ (5 ౼ 3, 1 ౼ (-1), -4 ─ 7) (2, 2, -11). Подставим координаты в формулу и найдем cos θ⁚
cos θ |(-8 * 2) (2.3 * 2) (-1 * (-11))| / (sqrt((-8)² 2.3² (-1)²) * sqrt(2² 2² (-11)²))٫
|-16 4.6 11| / (sqrt(64 5.29 1) * sqrt(4 4 121)),
|-0.4| / (sqrt(70.29) * sqrt(129)),
0.4 / (8.38 * 11.357)٫
≈ 0.004. Теперь найдем сам угол θ, используя arccos⁚
θ arccos(0.004)٫
≈ 89.97 градусов.2. Даны прямые a и b со своими каноническими уравнениями⁚
a⁚ (x ౼ 2)/4 (y 1)/7 z/3,
b⁚ (x 1)/8 (y ౼ 5)/14 (z ౼ 2)/6.
Чтобы проверить прямые a и b на параллельность и перпендикулярность, мы должны сравнить их направляющие векторы. Направляющий вектор прямой a⁚ (4, 7, 3),
Направляющий вектор прямой b⁚ (8, 14, 6).
Если направляющие векторы прямых параллельны, то они пропорциональны.
Для этого проверим, существует ли такое число k, что (4, 7, 3) k * (8, 14, 6). Проверка⁚ (4/8, 7/14, 3/6) (1/2, 1/2, 1/2). Мы видим, что (4/8, 7/14, 3/6) (1/2, 1/2, 1/2), что означает, что направляющие векторы прямых a и b
действительно пропорциональны, а значит прямые параллельны;
Для проверки перпендикулярности прямых, мы должны проверить, равен ли их скалярное произведение нулю. Проверка⁚ (4, 7, 3) * (8, 14, 6) 4*8 7*14 3*6 32 98 18 148. Мы видим, что скалярное произведение (4, 7, 3) * (8, 14, 6) не равно нулю, что означает, что прямые a и b не
перпендикулярны. Таким образом, прямые a и b являются параллельными, но не перпендикулярными.Это был мой личный опыт и инструкция по составлению уравнений прямых, нахождению угла между прямыми и проверке
прямых на параллельность и перпендикулярность. Надеюсь, это помогло тебе разобраться в данной задаче!