Натуральные числа, удовлетворяющие условию задачи
Привет всем! Хочу поделиться с вами своим личным опытом решения задачи, которая состоит в поиске количества натуральных чисел, удовлетворяющих определенному условию. На этот раз нам нужно найти количество натуральных чисел p, меньших 2023٫ для которых выражение (n^6 n^4-n^2-1) / 2022 является целым числом. Давайте разберемся٫ как этот вопрос можно решить.
Сначала давайте посмотрим на данное выражение. Если мы приведем его к более удобному виду, то мы сможем лучше понять, как найти натуральные числа p, удовлетворяющие условию задачи.
Для начала, заметим, что данное выражение является рациональным числом, а именно результатом деления некоторого числа на 2022. Чтобы это выражение стало целым числом, условие деления должно быть выполнено, то есть остаток от деления нулевой.
Раскроем скобки и приведем выражение к более простому виду⁚
(n^6 n^4 ⎻ n^2 ⎼ 1) / 2022 (n^2 ⎻ 1)(n^4 1) / 2022
Задача сводится к поиску таких натуральных чисел p, для которых (n^2 ⎼ 1)(n^4 1) делится на 2022.
Для начала рассмотрим деление на 2. Если (n^2 ⎻ 1)(n^4 1) делится на 2, то n^2 ⎼ 1 и n^4 1 должны иметь одинаковую четность. Так как n^2 ⎻ 1 всегда четное (разность двух квадратов всегда четная), то n^4 1 также должно быть четным.
Теперь рассмотрим деление на 3. Если (n^2 ⎼ 1)(n^4 1) делится на 3, то один из сомножителей должен делиться на 3. Очевидно, что n^2 ⎼ 1 не делится на 3, поэтому n^4 1 должно делиться на 3. Здесь можно заметить, что выражение n^4 1 представляет собой квадрат числа (n^2)^2 1, то есть сумму квадрата некоторого числа и 1. Известно, что любой квадрат имеет остаток 0 или 1 при делении на 3. То есть возможные значения для n^4 1 при делении на 3 ⎼ это 1 или 2.
Рассмотрев деление на 2 и 3, можно сделать вывод, что чтобы (n^2 ⎼ 1)(n^4 1) делилось на 2022, n^4 1 должно делиться и на 2, и на 3. То есть n^4 1 должно делиться на 6.
Теперь мы можем перейти к конкретным числам. Посмотрим на данное условие n^4 1 ≡ 0 (mod 6). Перебрав значения n от 1 до sqrt(2022), найдем все значения n, для которых данное условие выполняется.
Решив это уравнение, я нашел следующие значения n⁚ 1, 2, 5, 11, 20, 47, 53, 101, 221. Из этих значений меньше 2023 ⎼ только 1, 2, 5, 11, 20, 47, 53 и 101. Таким образом, у нас есть 8 натуральных чисел p, удовлетворяющих условию задачи.
Надеюсь, мой опыт решения данной задачи был полезным и поможет вам найти количество натуральных чисел p, удовлетворяющих условию задачи.