Привет! Сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом по определению порядка малости для бесконечно малых функций․ Мы с вами рассмотрим конкретный пример функции и найдем ее порядок малости относительно другой функции․
Итак, дана функция α(x) (x 3)^5* (sin(x 3))^8* (arctg(x 3))^7 и функция β(x) x 3․ Наша задача ⏤ найти порядок малости функции α(x) относительно функции β(x)․Для начала разложим функции α(x) и β(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x 0․ Раскладывать будем до нужного нам порядка, чтобы определить, какая функция является бесконечно малой относительно другой․Начнем с функции β(x) x 3․ Разложим ее в ряд Тейлора до порядка 1⁚
β(x) (x 3)^1 R(x), где R(x) ⏤ остаточный член․Далее разложим функцию α(x) (x 3)^5* (sin(x 3))^8* (arctg(x 3))^7․ Но прежде, чем приступить к разложению, посмотрим, как выглядит разложение функций sin(x) и arctg(x) в ряд Тейлора до порядка 1⁚
sin(x) x R1(x),
arctg(x) x R2(x),
где R1(x) и R2(x) ⏤ остаточные члены․Теперь разложим функцию α(x) в ряд Тейлора⁚
α(x) [(x 3)^5* (x 3)^8* (x 3)^7] * [(sin(x 3))^8] * [(arctg(x 3))^7]
(x 3)^20 * [(x 3)*(sin(x 3))]^8 * [(x 3)*(arctg(x 3))]^7․
Заметим, что (x 3)*(sin(x 3)) и (x 3)*(arctg(x 3)) также делятся нашей функцией β(x) x 3․Теперь разложим эти множители в ряд Тейлора⁚
(x 3)*(sin(x 3)) (x 3)*(x 3) R3(x),
(x 3)*(arctg(x 3)) (x 3)*(x 3) R4(x),
где R3(x) и R4(x) ― остаточные члены․Итак, имеем⁚
α(x) (x 3)^20 * [(x 3)*(sin(x 3))]^8 * [(x 3)*(arctg(x 3))]^7
(x 3)^20 * [(x 3)*(x 3) R3(x)]^8 * [(x 3)*(x 3) R4(x)]^7․Теперь посмотрим, на какой порядок относительно функции β(x) сократятся все остаточные члены․ Заметим, что во всех остаточных членах присутствует множение на (x 3), которое делится нашей функцией β(x) x 3․ Таким образом, получаем⁚
α(x) (x 3)^20 * [(x 3)*(x 3) R3(x)]^8 * [(x 3)*(x 3) R4(x)]^7
(x 3)^(20 2*8 2*7)․
Итак, мы получили, что функция α(x) имеет порядок малости (x 3)^(20 2*8 2*7) относительно функции β(x) x 3․
Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как найти порядок малости для бесконечно малых функций․ Практикуйтесь в решении подобных задач, и вы сможете легко определить порядок малости любых функций․