Определение площади фигуры ограниченной графиками функций yx^2 и y9 6x-2x^2
Для решения данной задачи мы должны найти точки пересечения двух функций и определить интервал, на котором фигура ограничена. Затем мы можем использовать метод интегрирования, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций.1. Найдем точки пересечения двух функций⁚
Для этого приравняем уравнения и решим уравнение⁚ x^2 9 6x-2x^2
Перенесем все члены в одну сторону⁚ 3x^2 6x — 9 0
Разложим это уравнение на множители или воспользуемся квадратным уравнением. Возьмем множитель 3 в обоих членах⁚ 3(x^2 2x — 3) 0
Теперь решим уравнение в скобках⁚ x^2 2x — 3 0
Мы можем разложить это уравнение на множители⁚ (x, 1)(x 3) 0
Поэтому, x 1 или x -3.2. Теперь найдем интервал, на котором фигура ограничена.
Функция y x^2 является параболой, которая открывается вверх и проходит через точку (0, 0).
Функция y 9 6x ― 2x^2 является параболой, которая открывается вниз и проходит через точки (1, 14) и (-3, 0).
Поскольку парабола y 9 6x — 2x^2 находится ниже параболы y x^2, фигура будет ограничена на интервале [-3, 1].3. Теперь воспользуемся интегрированием, чтобы найти площадь фигуры.
Площадь фигуры можно найти как разность между площадью криволинейного сегмента параболы y x^2 и параболой y 9 6x, 2x^2 на интервале [-3, 1]. Используем интеграл для нахождения площади⁚
S ∫[a, b] (f(x) ― g(x)) dx,
где f(x) и g(x) ― функции парабол, a и b ― точки пересечения парабол. В нашем случае, a -3 и b 1. S ∫[-3, 1] (x^2 ― (9 6x — 2x^2)) dx
S ∫[-3, 1] (3x^2 ― 6x — 9) dx
Произведем интегрирование, чтобы найти значение площади⁚
S [x^3 ― 3x^2 — 9x]_(-3)^1
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования⁚
S (1^3 ― 3(1)^2, 9(1)) ― ((-3)^3 ― 3(-3)^2, 9(-3))
Вычислим значения и получим окончательный ответ. S (1 ― 3 ― 9), (-27, 3(9) 27)
S -11 — (-27 ― 27 27)
S -11 ― (-27)
S -11 27
S 16
Поэтому, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y x^2 и y 9 6x ― 2x^2 на интервале [-3, 1], равна 16.