Приветствую! В данной статье я хочу поделиться своим опытом и знаниями о нахождении пределов‚ используя эквивалентные бесконечно малые функции и второй классический предел. В качестве примера‚ я рассмотрю задачу на нахождение предела функции lim x->0 tg5x/ln(1 4x).
Для начала‚ стоит уточнить‚ что предел функции – это значение‚ к которому она стремится при приближении аргумента к какому-либо числу или бесконечности. В данном случае‚ мы ищем предел при x‚ стремящемся к 0.Для решения данной задачи‚ мы будем использовать эквивалентные бесконечно малые функции. Эквивалентными называются функции‚ пределы которых равны при аргументе стремящемся к нулю. В данном случае‚ нам понадобится знание о следующих эквивалентных функциях⁚ lim x->0 sin(x)/x 1 и lim x->0 ln(1 x)/x 1.Прежде чем приступить к решению‚ заметим‚ что tg(5x) можно переписать в виде sin(5x)/cos(5x); Теперь можем переписать исходную функцию следующим образом⁚
tg5x/ln(1 4x) (sin(5x)/cos(5x))/(ln(1 4x)) (5x/(cos(5x) * ln(1 4x))) * (sin(5x)/x).Теперь применим эквивалентные функции к каждому из множителей в выражении. Первый множитель 5x/(cos(5x) * ln(1 4x)) можно представить как произведение трех функций‚ каждая из которых эквивалентна единице при x‚ стремящемся к нулю⁚
5x/(cos(5x) * ln(1 4x)) (5x/ex) * (ex/cos(5x)) * (sin(5x)/ln(1 4x)).Используя знание о пределах эквивалентных функций‚ получим⁚
lim x->0 (5x/ex) * (ex/cos(5x)) * (sin(5x)/ln(1 4x)) 5 * 1 * 1 5.
Таким образом‚ предел функции lim x->0 tg5x/ln(1 4x) равен 5.
Я надеюсь‚ что данная статья помогла тебе разобраться в применении эквивалентных бесконечно малых функций и второго классического предела при нахождении пределов. Удачи в дальнейших математических исследованиях!