Вычисление базиса ядра оператора
Для начала определимся с тем, что такое ядро оператора. Ядро ー это множество векторов, которые переходят в нулевой вектор при действии оператора.
В данной статье я расскажу о том, как вычислить базис ядра оператора, заданного матрицей в стандартном базисе. Для примера рассмотрим оператор, заданный матрицей⁚
A [1, 0, 1; 1, 1, -1; -4, -2, 0]
Шаг 1⁚ Создание расширенной матрицы
Для начала добавим в матрицу координаты вектора свободных членов. Таким образом, получим расширенную матрицу, в которой последний столбец будет состоять из нулей. При этом будем использовать некоторые обозначения, чтобы упростить дальнейшие вычисления⁚
A [1, 0, 1, 0;
1, 1, -1, 0;
-4, -2, 0, 0]
Шаг 2⁚ Приведение матрицы к ступенчатому виду
Для того чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, следует использовать элементарные преобразования строк; Цель ー получить матрицу, в которой каждая строка будет иметь первый ненулевой элемент выше первого ненулевого элемента предыдущей строки. Используя эти преобразования, получаем⁚
A [1, 0, 1, 0;
0, 1, -2, 0;
0, 0, 0, 0]
Шаг 3⁚ Поиск базиса ядра оператора
Для нахождения базиса ядра оператора, нам необходимо найти те векторы-столбцы, которые соответствуют свободным переменным в ступенчатой матрице. Помним, что свободными переменными являются те, у которых нет ведущей позиции в строке.
В нашем случае имеется одна свободная переменная, поэтому базисом ядра оператора будет являться следующий вектор⁚
v [-1; 2; 1]
Таким образом, базис ядра оператора будет состоять из одного вектора [-1; 2; 1].