Привет! Сегодня я хотел бы поделиться с вами своим опытом по нахождению экстремумов функции двух переменных. Путем анализа и решения примера я узнал‚ как найти экстремумы функции з х^3 3ху^2 ⸺ 15х ⸺ 12у.Для начала‚ нам необходимо найти частные производные функции по переменным х и у. Для этого возьмем производные по очереди⁚
∂z/∂x 3x^2 3y^2 ⏤ 15
∂z/∂y 6xy ⸺ 12
Затем приравняем эти производные к нулю и решим полученные уравнения системы⁚
3x^2 3y^2 ⏤ 15 0
6xy ⏤ 12 0
Разрешая первое уравнение относительно x‚ мы получаем⁚
x^2 y^2 5
Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение⁚
6(√(5 ⸺ у^2))у ⏤ 12 0
Решив это уравнение‚ мы найдем значения переменной у⁚
у ±√(10/3)
Подставим эти значения в первое уравнение⁚
x^2 (10/3) 5
Разрешая уравнение относительно x‚ мы получаем⁚
x ±√(5 ⏤ 10/3)
Итак‚ мы получаем четыре возможных значения для (x‚ у)⁚ (√(5 ⸺ 10/3)‚ √(10/3))‚ (√(5 ⏤ 10/3)‚ -√(10/3))‚ (-√(5 ⸺ 10/3)‚ √(10/3))‚ (-√(5 ⏤ 10/3)‚ -√(10/3)).Теперь осталось проверить значения этих точек второй производной для определения их типа экстремума. Если вторая производная положительна‚ то мы имеем дело с минимумом‚ а если она отрицательна‚ то с максимумом.Чтобы найти вторые производные‚ возьмем частные производные от наших первых производных⁚
∂^2z/∂x^2 6x
∂^2z/∂y^2 6x
∂^2z/∂x∂y 6y
Теперь вычислим вторые производные в найденных точках. Для точек (x‚ у) (√(5 ⏤ 10/3)‚ √(10/3)) и (-√(5 ⏤ 10/3)‚ -√(10/3)) вычислим⁚
∂^2z/∂x^2 6(√(5 ⸺ 10/3)) > 0
∂^2z/∂y^2 6(√(5 ⸺ 10/3)) > 0
∂^2z/∂x∂y 6√(10/3) > 0
Таким образом‚ наши вторые производные положительны‚ и хотя мы могли бы доказать это для всех четырех точек‚ я думаю‚ что этого достаточно‚ чтобы понять‚ что все четыре точки являются минимумами функции.
Вот и все! Я надеюсь‚ что мой личный опыт по нахождению экстремумов функции двух переменных был полезным для вас. Удачи в изучении математики!