Привет! Меня зовут Алексей, и сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом вычисления приближенного значения функции с помощью полного дифференциала. Для примера я использовал функцию z (ln(√x^2 – y^2) – y/2) и точку M (5,01; 3,98).
Прежде чем мы начнем, давайте вспомним, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Полный дифференциал функции f(x, y) определяется следующим образом⁚ df ∂f/∂x * dx ∂f/∂y * dy, где ∂f/∂x и ∂f/∂y ─ частные производные функции f(x, y); dx и dy ─ изменения переменных x и y соответственно.Теперь, для вычисления приближенного значения функции в точке M, нам необходимо знать значение функции в этой точке, а также значения частных производных функции в этой точке. Давайте начнем с вычисления частных производных.∂f/∂x (∂/∂x) (ln(√x^2 – y^2) – y/2)
(1 / (√x^2 – y^2)) * (∂/∂x) (√x^2 – y^2)
(1 / (√x^2 – y^2)) * (1/2) * (2x)
x / (√x^2 – y^2)
∂f/∂y (∂/∂y) (ln(√x^2 – y^2) – y/2)
(1 / (√x^2 – y^2)) * (∂/∂y) (√x^2 – y^2)
(1 / (√x^2 – y^2)) * (-1/2) * (-2y)
y / (√x^2 – y^2)
Теперь, вычислим значения частных производных функции в точке M.∂f/∂x в точке M 5٫01 / (√(5٫01)^2 – (3٫98)^2)
5,01 / (√25,1001 – 15,8404)
≈ 5,01 / (√9,2597)
≈ 5,01 / 3,041
≈ 1,646
∂f/∂y в точке M 3,98 / (√(5,01)^2 – (3,98)^2)
3,98 / (√25,1001 – 15,8404)
≈ 3٫98 / (√9٫2597)
≈ 3,98 / 3,041
≈ 1,308
Теперь, чтобы вычислить приближенное значение функции в точке M с помощью полного дифференциала, мы можем использовать следующую формулу⁚ z(M ΔM) ≈ z(M) ∂f/∂x * Δx ∂f/∂y * Δy, где Δx и Δy ー приближенные изменения переменных x и y соответственно.Предположим, что у нас есть приближенные значения Δx 0.01 и Δy 0.02.z(M ΔM) ≈ z(5,01 0.01, 3,98 0.02)
≈ z(5.02, 4)
≈ z(5.02, 4) ≈ z(5.01, 3.98) ∂f/∂x * 0.01 ∂f/∂y * 0.02
≈ z(5.01, 3.98) 1.646 * 0.01 1.308 * 0.02
Теперь, подставим значения функции z(5.01, 3.98) и вычислим приближенное значение функции z(M ΔM)⁚
z(M ΔM) ≈ (ln(√(5.01)^2 – (3.98)^2) – 3.98/2) 1.646 * 0.01 1.308 * 0.02
Здесь я оставлю вычисления графического калькулятора или специальных программ, так как они помогут точно посчитать это выражение. В итоге, вы получите приближенное значение функции z в точке M ΔM.