Докажем, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости
Для начала, давайте ознакомимся с понятием равномощности. Две множества считаются равномощными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами. Другими словами, каждому элементу одного множества сопоставляется ровно один элемент второго множества.
Для доказательства равномощности множества всех прямых на плоскости и множества всех точек на плоскости, мы можем установить такое соответствие.
Соответствие между прямыми и точками
Давайте представим каждую прямую на плоскости в виде пары чисел (a, b), где a ー это угловой коэффициент прямой, а b ౼ ее точка пересечения с осью ординат.
Теперь мы можем установить соответствие между каждой прямой и точкой. Чтобы сделать это, мы просто возьмем координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс и используем их в качестве координат точки, соответствующей прямой.
Например, пусть у нас есть прямая с угловым коэффициентом a и точкой пересечения с осью ординат b. Мы можем сопоставить эту прямую точке с координатами (a, b).
Доказательство равномощности
Теперь, чтобы доказать равномощность, нам нужно показать, что каждая прямая сопоставлена ровно одной точке, и наоборот, каждая точка сопоставлена ровно одной прямой.
Давайте начнем с прямых. Мы знаем, что каждая прямая может быть однозначно определена с помощью пары чисел (a, b). Значит, каждая прямая сопоставлена ровно одной точке.
Теперь посмотрим на точки. Каждая точка на плоскости может быть определена ее координатами (x, y). Мы можем найти уравнение прямой, которая проходит через эту точку и пересекает ось ординат, по формуле yax b, где ay/x и b-a*(x/y).
Таким образом, каждая точка сопоставлена ровно одной прямой.
Итак, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множеством всех прямых на плоскости и множеством всех точек на плоскости. Следовательно, множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости.