Привет! В этой статье я расскажу о том‚ как я решил задачу о доказательстве того‚ что четырёхугольник ABCD является квадратом‚ а также о том‚ как я нашел его площадь.Итак‚ у нас дан четырёхугольник ABCD с вершинами А(13; 3)‚ В(19; 6)‚ С(16; 12) и D(10; 9). Чтобы доказать‚ что это квадрат‚ нам нужно убедиться‚ что все его стороны равны и что углы прямые.Для начала‚ давайте построим график этого четырёхугольника на координатной плоскости. Получится следующая фигура⁚
(вставить изображение графика четырёхугольника ABCD)
Как можно увидеть‚ этот четырёхугольник выглядит как квадрат‚ но нам нужно убедиться в этом математически.Для доказательства равенства сторон‚ мы можем вычислить длины сторон AB‚ BC‚ CD и DA по формуле расстояния между двумя точками на плоскости⁚
AB √((x2 ─ x1)^2 (y2 ⸺ y1)^2)
√((19 ─ 13)^2 (6 ⸺ 3)^2)
√(6^2 3^2)
√(36 9)
√45
BC √((x2 ─ x1)^2 (y2 ⸺ y1)^2)
√((16 ─ 19)^2 (12 ─ 6)^2)
√((-3)^2 6^2)
√(9 36)
√45
CD √((x2 ─ x1)^2 (y2 ─ y1)^2)
√((10 ⸺ 16)^2 (9 ⸺ 12)^2)
√((-6)^2 (-3)^2)
√(36 9)
√45
DA √((x2 ⸺ x1)^2 (y2 ⸺ y1)^2)
√((13 ─ 10)^2 (3 ⸺ 9)^2)
√(3^2 (-6)^2)
√(9 36)
√45
Как видно из вычислений‚ все четыре стороны равны между собой и имеют длину √45. Это уже говорит о том‚ что четырёхугольник ABCD является квадратом.Чтобы доказать‚ что углы прямые‚ можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов‚ то угол прямой. В нашем случае можем взять‚ например‚ сторону AB (катеты) и стороны BC и CD (гипотенуза)⁚
AB^2 BC^2 √45^2 √45^2 2 * 45 90
BC^2 CD^2 √45^2 √45^2 2 * 45 90
Оба значения равны 90‚ поэтому можно сказать‚ что углы ABC и BCD прямые.
Таким образом‚ мы доказали‚ что четырёхугольник ABCD является квадратом‚ так как все его стороны равны и углы прямые.Теперь перейдем к нахождению площади квадрата. Площадь квадрата можно вычислить по формуле⁚ Площадь сторона^2.В нашем случае сторона равна √45‚ поэтому площадь равна⁚
Площадь (√45)^2 45.
Таким образом‚ площадь четырёхугольника ABCD равна 45.
Я надеюсь‚ что эта статья помогла вам разобраться с доказательством квадратности четырёхугольника ABCD и вычислением его площади. Если у вас остались какие-либо вопросы‚ не стесняйтесь задавать их!