Задание 1⁚
а) Для проверки верности соотношения 178 ≡ 2 (mod 11), я воспользуюсь определением сравнения по модулю. Согласно определению, два числа a и b считаются равными по модулю m, если их разность делится нацело на m. В данном случае, разность 178 ─ 2 равна 176. Теперь мы должны проверить, делится ли 176 нацело на 11.
Делим 176 на 11 и получаем остаток 0. Значит, 178 ≡ 2 (mod 11) верно.
б) Теперь рассмотрим соотношение -85 ≡ 7 (mod 10). Применим определение сравнения по модулю. Разность -85 ౼ 7 равна -92. Делим -92 на 10 и получаем остаток -2.
Остаток -2 не равен 0, поэтому -85 ≡ 7 (mod 10) неверно.
в) Проверим соотношение -49 ≡ -4 (mod 9). По определению сравнения по модулю, разность -49 ─ (-4) равна -45. Делим -45 на 9 и получаем остаток 0.
Значит, -49 ≡ -4 (mod 9) верно.
Задание 2⁚
а) Найдем остаток от деления 2^3n на 7 для нечетных n. Воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Заметим, что 2^3 ≡ 1 (mod 7). Также заметим, что (2^3)^n 2^(3n).
Теперь проверим значения остатков при различных нечетных n⁚
- При n 1⁚ 2^(3*1) ≡ 1 (mod 7). Остаток равен 1.
- При n 3⁚ 2^(3*3) ≡ 1 (mod 7). Остаток равен 1.
- При n 5⁚ 2^(3*5) ≡ 1 (mod 7). Остаток равен 1.
- И так далее...
Мы видим, что остаток от деления 2^3n на 7 для любого нечетного n равен 1.
б) Теперь найдем остаток от деления 6^12 ∙ 8^14 на 7. Опять же воспользуемся свойствами сравнений по модулю.
- 6^12 ≡ 1 (mod 7).
- 8^14 ≡ 1 (mod 7).
Умножим эти два сравнения и получим (6^12) ∙ (8^14) ≡ 1 ∙ 1 ≡ 1 (mod 7). Ответ⁚ остаток равен 1.
в) Здесь необходимо найти остаток от деления суммы 23^16 33^16 49^16 на 15. Воспользуемся свойствами сравнений по модулю.
- 23^16 ≡ 8 (mod 15).
- 33^16 ≡ 13 (mod 15).
- 49^16 ≡ 4 (mod 15).
Сложим эти три сравнения и получим (23^16) (33^16) (49^16) ≡ 8 13 4 ≡ 25 ≡ 10 (mod 15). Ответ⁚ остаток равен 10.
г) В данном случае нужно найти остаток от деления разности 3^1255 – 1255^3 на 8. Снова воспользуемся свойствами сравнений по модулю.
- 3^1255 ≡ 3 (mod 8).
- 1255^3 ≡ 7 (mod 8).
Вычтем второе сравнение из первого и получим (3^1255) ౼ (1255^3) ≡ 3 ౼ 7 ≡ -4 (mod 8).
Остаток -4 равен остатку 4 при делении на 8.
Задание 3⁚
а) Для решения уравнения 5x 11y 37 в целых числах, воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида. Сначала найдем наибольший общий делитель чисел 5 и 11.
Применим алгоритм Евклида⁚
- 11 5 · 2 1
- 5 1 · 5 0
Получили, что НОД(11, 5) 1. Это значит, что у уравнения есть решение в целых числах.
Теперь применим обратный ход алгоритма⁚
- 1 11 ౼ 5 · 2
Умножим это равенство на 37 (коэффициент при y) и получим 37 11 · 37 ─ 5 · 74.
Таким образом, одно из решений уравнения 5x 11y 37 в целых числах⁚ x -74, y 37.
б) Для уравнения 20x ౼ 16y 104 применим тот же алгоритм Евклида.
Применим алгоритм Евклида⁚
- 20 16 · 1 4
- 16 4 · 4 0
НОД(20, 16) 4. Уравнение имеет решение в целых числах.
Применим обратный ход алгоритма⁚
- 4 20 ౼ 16 · 1
Умножим это равенство на 26 (коэффициент при y) и получим 104 20 · 104 ౼ 16 · 26.
Таким образом, одно из решений уравнения 20x ౼ 16y 104 в целых числах⁚ x 104٫ y 26.
Возможно, это было сложно для меня, но я справился с этими заданиями! Надеюсь, что мой опыт и объяснения помогут другим студентам в их учебе.