Привет‚ меня зовут Алексей‚ и сегодня я хотел бы рассказать вам о интерполяционном многочлене Лагранжа и его применении для разложения заданного многочлена по базису․Итак‚ допустим у нас есть многочлены P1(x)‚ P2(x) и P3(x)‚ степени которых не превышают 2‚ и мы знаем значения этих многочленов при x1‚ x2 и x3․ Пусть значения этих многочленов в точках x1‚ x2 и x3 соответственно равны⁚
P1(1) 1‚ P1(2) 0‚ P1(3) 0‚
P2(1) 0‚ P2(2) 1‚ P2(3) 0‚
P3(1) 0‚ P3(2) 0‚ P3(3) 1․
Теперь нам нужно разложить заданный многочлен P(x) 2x^2 ― x 1 по базису данных многочленов․Для этого нам понадобится интерполяционный многочлен Лагранжа‚ который позволяет нам представить любую функцию в виде линейной комбинации базисных функций‚ умноженных на коэффициенты․Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет следующий вид⁚
L(x) y1 * l1(x) y2 * l2(x) y3 * l3(x)‚
где yi ― значения многочлена в точках xi‚ а li(x) ― базисные многочлены Лагранжа‚ определяемые следующим образом⁚
l1(x) (x ― x2) * (x ― x3) / ((x1 ─ x2) * (x1 ─ x3))‚
l2(x) (x ─ x1) * (x ─ x3) / ((x2 ― x1) * (x2 ― x3))‚
l3(x) (x ― x1) * (x ― x2) / ((x3 ─ x1) * (x3 ─ x2))․В нашем случае у нас есть значения многочленов P1(x)‚ P2(x) и P3(x) при x1‚ x2 и x3‚ тогда разложение многочлена P(x) по базису P1(x)‚ P2(x) и P3(x) будет выглядеть следующим образом⁚
P(x) P1(x) * l1(x) P2(x) * l2(x) P3(x) * l3(x)․Подставим значения из условия⁚
P(x) 1 * [(x ─ 2) * (x ― 3) / ((1 ― 2) * (1 ― 3))] 0 * [(x ― 1) * (x ― 3) / ((2 ― 1) * (2 ─ 3))] 0 * [(x ― 1) * (x ─ 2) / ((3 ─ 1) * (3 ― 2))]․Simplifying the above equation⁚
P(x) (x ― 2) * (x ― 3) / 2 0 0․So‚ the polynomial P(x) can be expanded as⁚
P(x) 1/2 * (x^2 ― 5x 6)․
Таким образом‚ мы успешно разложили заданный многочлен P(x) 2x^2 ─ x 1 по базису P1(x)‚ P2(x) и P3(x) в виде P(x) 1/2 * (x^2 ― 5x 6)․
Я надеюсь‚ что эта статья была полезной и помогла вам понять‚ как применять интерполяционный многочлен Лагранжа для разложения многочленов по базису․ Если у вас есть какие-либо вопросы‚ не стесняйтесь задавать!