Привет! Сегодня я расскажу о своем опыте исследования на экстремум функции двух переменных. Для примера возьмем функцию⁚
𝒛 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝒚𝟐 𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟐.Перед началом исследования функции на экстремум‚ необходимо определить ее частные производные. Продифференцируем данную функцию по x и y⁚
∂𝒛/∂𝒙 6x² ⸺ y² 10x‚
∂𝒛/∂𝒚 -2xy 2y.Для нахождения критических точек приравняем обе производные к нулю и решим полученную систему уравнений⁚
6x² ⸺ y² 10x 0‚
-2xy 2y 0.
Первое уравнение можно переписать в виде⁚
y² 6x² 10x.Подставим полученное выражение для y² во второе уравнение⁚
-2x(6x² 10x) 2y 0‚
-12x³ ⸺ 20x² 2y 0.
Теперь можно выразить y через x⁚
2y 12x³ 20x²‚
y 6x³ 10x².Подставим полученное значение y в первое уравнение⁚
(6x³ 10x²)² 6x² 10x.Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду⁚
36x⁶ 120x⁵ 100x⁴ 6x² 10x.Сократим обе части уравнения на x⁚
36x⁴ 120x³ 100x² ⸺ 6 ⸺ 10x 0.
В данном уравнении нет простых способов для нахождения корней‚ поэтому я воспользовался численными методами. Я применил метод Ньютона‚ который позволяет найти приближенное значение корня уравнения. Для этого выбрал начальное приближение x₀ 0.5 и произвел несколько итераций до тех пор‚ пока точность приближения не стала удовлетворительной.В результате исследования нашел две критические точки⁚ A(0‚0) и B(0‚1). Для определения экстремумов необходимо проанализировать значения вторых производных исходной функции в этих точках.Вычислим вторые производные⁚
∂²𝒛/∂𝒙² 12x 10‚
∂²𝒛/∂𝒙∂𝒚 -2y‚
∂²𝒛/∂𝒚² 2.Для точки A(0‚0) имеем⁚
∂²𝒛/∂𝒙² 10 > 0‚
∂²𝒛/∂𝒙∂𝒚 0‚
∂²𝒛/∂𝒚² 2 > 0.Следовательно‚ в точке A(0‚0) функция достигает локального минимума.Для точки B(0‚1) имеем⁚
∂²𝒛/∂𝒙² 10 > 0‚
∂²𝒛/∂𝒙∂𝒚 -2 < 0‚
∂²𝒛/∂𝒚² 2 > 0.
Следовательно‚ в точке B(0‚1) функция достигает локального максимума.
Итак‚ функция имеет локальный минимум в точке A(0‚0) и локальный максимум в точке B(0‚1).