Мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, поэтому у него две равные стороны – AB и AC. Рассмотрим медиану BM, проходящую через вершину B и середину стороны AC.
Согласно свойствам медианы, она делит сторону AC пополам, а также проходит через центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC.Пусть указанная окружность пересекает основание BC в точке K. Значит, отрезок BK является радиусом окружности, а отрезок CK – касательной к окружности;а) Для доказательства того, что отрезок BK втрое больше отрезка CK, рассмотрим треугольник BKC. Он является прямоугольным, так как одна его сторона – CK – является касательной к окружности, а другая – BK – является радиусом окружности.
Заметим, что CK является половиной основания BC, а BK – высотой треугольника BKC. Исходя из свойств прямоугольного треугольника, высота всегда является четвертью гипотенузы. Значит, отрезок BK будет втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Нам известно, что BK 18 и BN 17.Заметим, что треугольники BKC и BNA подобны, так как соответствующие углы по одной стороне являются прямыми углами.Используя свойство подобных треугольников, мы можем установить следующую пропорцию⁚
BK / BN KC / NA
18 / 17 KC / NA
KC (18 * NA) / 17
Также мы знаем, что BK втрое больше CK⁚
BK 3 * CK
18 3 * CK
CK 6
Теперь мы можем найти значение AB, используя теорему Пифагора для треугольника BCK⁚
BC^2 BK^2 CK^2
AB^2 6^2 18^2
AB^2 36 324
AB^2 288
AB √288
AB 12√2
Таким образом, если BK равно 18 и BN равно 17, то AB равно 12√2.