В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания АВС. Через середины ребер ВС и SC проведена секущая плоскость, параллельная ребру АС. Надо найти значение выражения 5S, где S – площадь сечения пирамиды этой плоскостью, при условии, что АС10 и SB4.
Для начала, разберемся с геометрической конструкцией. Из условия задачи следует, что боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания АВС. Другими словами, SB является высотой пирамиды.
Далее, объявим MV середину ребра ВС, а NT ⏤ середину ребра SC. Согласно условию, через эти две точки проведена секущая плоскость, которая параллельна ребру АС. Пусть этот плоский сегмент называется MT.
Теперь, для решения задачи, нам нужно найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью, обозначим ее как S’. Для этого нам понадобится вычислить площадь треугольника MTN и затем умножить ее на 2 (так как она является половиной сечения пирамиды).Рассмотрим треугольник MTN. Мы знаем٫ что в равнобедренном треугольнике серединная линия параллельная основанию и составляет четверть от длины его основания. Таким образом٫ MT 1/4 * SC 1/4 * 2 * (SM MC)٫ где SM 1/2 * AB и MC 1/2 * AC.Подставляем значения⁚
MT 1/4 * 2 * (1/2 * AB 1/2 * AC) (1/4 * 2 * (1/2 * 10 1/2 * 4) (1/4 * 2 * (5 2) 7/4.
Теперь, находим площадь треугольника MTN. Для этого используем формулу площади треугольника, S 1/2 * a * b * sin(C), где a и b ⏤ стороны треугольника, а C ⎯ угол между этими сторонами.
Высота треугольника MTN, равная MN, равна половине высоты пирамиды (SB/2)٫ а сторона MT равна 7/4. Осталось найти угол NMT.Треугольник MTN прямоугольный٫ поскольку STB прямоугольный (плоскость MT проходит через середины SC и BC). Поэтому угол NMT равен противолежащему ему углу STC.Так как STC прямоугольный٫ мы можем использовать теорему Пифагора٫ чтобы найти его значение. Мы знаем٫ что AC 10 и SB 4. Поэтому⁚
tan(STC) AC/SB 10/4 5/2;Теперь, находим угол STC, используя арктангенс⁚
STC arctan(5/2) ≈ 68.2°.Таким образом٫ угол NMT STC ≈ 68.2°.Теперь٫ используя формулу площади треугольника٫ находим площадь треугольника MTN⁚
S 1/2 * MN * MT * sin(NMT) 1/2 * (SB/2) * (7/4) * sin(68.2°).Подставляем значения⁚
S 1/2 * (4/2) * (7/4) * sin(68.2°)
1/2 * 2 * (7/4) * sin(68.2°)
(7/4) * sin(68.2°).Теперь٫ чтобы найти площадь сечения пирамиды S’٫ мы умножаем pлощадь треугольника MTN на 2⁚
S’ 2 * S 2 * (7/4) * sin(68.2°).И, наконец, чтобы найти значение выражения 5S, умножим S’ на 5⁚
5S 5 * S’ 5 * 2 * (7/4) * sin(68.2°).Вычисляем значение⁚
5S 70/4 * sin(68.2°) ≈ 34.62.
Таким образом, значение выражения 5S равно примерно 34.62.