Привет! Сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом в решении задач по треугольникам. В этой статье я расскажу‚ как найти третью сторону треугольника и его площадь‚ а также как найти сторону треугольника‚ лежащую против меньшего из данных углов‚ и радиус окружности‚ вписанной в треугольник.Давайте начнем с первой задачи. У нас есть треугольник‚ в котором две стороны равны 4 см и 8 см‚ а угол между ними равен 60°. Чтобы найти третью сторону треугольника‚ мы можем воспользоваться косинусной теоремой.
Согласно косинусной теореме‚ квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух известных сторон‚ вычитаем удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае⁚
c² a² b² ⎻ 2ab * cos(C)‚
где c ― третья сторона треугольника‚ a и b ⎻ известные стороны‚ C ⎻ угол между этими сторонами.Подставляя значения в формулу‚ мы получаем⁚
c² 4² 8² ― 2 * 4 * 8 * cos(60°)‚
c² 16 64 ― 64 * 0.5‚
c² 16 64 ― 32‚
c² 48.Извлекая квадратный корень из обеих сторон‚ мы получаем⁚
c √48‚
c 4√3.Таким образом‚ третья сторона треугольника равна 4√3 см.Теперь перейдем к поиску площади треугольника. Для этого мы можем воспользоваться формулой Герона⁚
S √(p * (p ⎻ a) * (p ⎻ b) * (p ― c))‚
где S ― площадь треугольника‚ p ⎻ полупериметр треугольника (сумма всех сторон‚ деленная на 2)‚ a‚ b и c ― стороны треугольника.В нашем случае⁚
p (4 8 4√3) / 2‚
p 6 2√3.Подставляя значения в формулу Герона‚ мы получаем⁚
S √((6 2√3) * (6 2√3 ⎻ 4) * (6 2√3 ― 8) * (6 2√3 ― 4√3))‚
S √((6 2√3) * (2 2√3) * (-2) * (2√3))‚
S √(-16 (2 √3)).
В данном случае‚ мы получили отрицательное значение под знаком извлечения корня‚ что означает‚ что треугольник с такими сторонами не существует.Теперь рассмотрим вторую задачу. У нас есть треугольник‚ в котором два угла равны 60° и 45°‚ а сторона‚ лежащая против большего из них‚ равна 3√2 см. Найдем сторону треугольника‚ лежащую против меньшего из данных углов.Для этого мы можем воспользоваться теоремой синусов. Согласно теореме синусов‚ отношение синуса угла к соответствующей стороне треугольника одинаково для всех углов и сторон. В нашем случае⁚
sin(60°) / 3√2 sin(45°) / x‚
где x ― искомая сторона треугольника.Переносим x в левую часть уравнения и получаем⁚
x (3√2 * sin(45°)) / sin(60°).Подставляя значения‚ мы получаем⁚
x (3√2 * (√2 / 2)) / (√3 / 2)‚
x (3√4) / √3‚
x (3 * 2) / √3‚
x 6 / √3‚
x 2√3.
Таким образом‚ сторона треугольника‚ лежащая против меньшего из данных углов‚ равна 2√3 см.Наконец‚ рассмотрим третью задачу. У нас есть треугольник со сторонами 10‚ 17 и 21 см. Найдем радиус окружности‚ вписанной в этот треугольник.Для этого мы можем воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности⁚
r (√(s * (s ― a) * (s ― b) * (s ― c))) / s‚
где r ⎻ радиус окружности‚ вписанной в треугольник‚ s ― полупериметр треугольника‚ a‚ b‚ c ⎻ стороны треугольника.В нашем случае⁚
s (10 17 21) / 2‚
s 48 / 2‚
s 24.Подставляя значения в формулу‚ мы получаем⁚
r (√(24 * (24 ⎻ 10) * (24 ⎻ 17) * (24 ⎻ 21))) / 24‚
r (√(24 * 14 * 7 * 3)) / 24‚
r (√(12 * 2 * 7 * 7 * 3)) / 24‚
r (√(12 * 49 * 6)) / 24‚
r (√(12 * 7² * 6)) / 24‚
r (√(6 * 7²)) / 2‚
r (√(6 * 49)) / 2‚
r (√(294)) / 2‚
r ≈ 8.57.
Таким образом‚ радиус окружности‚ вписанной в треугольник со сторонами 10‚ 17 и 21 см‚ составляет примерно 8.57 см.
В этой статье я рассмотрел различные задачи по треугольникам и поделился своим опытом в их решении. Надеюсь‚ эта информация была полезной для вас!