Привет! Меня зовут Алексей‚ и сегодня я хочу поделиться с вами своим опытом поиска базы системы векторов и выражения всех векторов вне базы через нее․Для начала‚ давайте рассмотрим систему векторов a1‚ a2 и a3⁚
a1 (1‚ 2‚ 3‚ 4)
a2 (-3‚ 1‚ -1‚ -1)
a3 (-1‚ 5‚ 5‚ 7)
Чтобы найти базу системы векторов‚ нам необходимо проверить их линейную независимость․ Для этого создадим матрицу‚ составленную из векторов a1‚ a2 и a3‚ и приведем ее к улучшенному ступенчатому виду․ Далее‚ базу составляют векторы‚ которые соответствуют ступеням ведущих элементов в каждом столбце матрицы․Выполним эти шаги⁚
\[ \begin{bmatrix}
1 n -3 n -1 \\
2 n 1 n 5 \\
3 n -1 n 5 \\
4 n -1 n 7 \\
\end{bmatrix} \]
Выполним элементарные преобразования над матрицей⁚
\[ \begin{bmatrix}
1 n -3 n -1 \\
0 n 7 n 7 \\
0 n 8 n 8 \\
0 n 11 n 11 \\
\end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix}
1 n -3 n -1 \\
0 n 7 n 7 \\
0 n 0 n 0 \\
0 n 0 n 0 \\
\end{bmatrix} \]
Видим‚ что последний столбец матрицы состоит только из нулей‚ поэтому соответствующий вектора a3 не входит в базу․База системы векторов состоит из векторов‚ соответствующих ведущим элементам в оставшихся столбцах матрицы⁚
a1 (1‚ 2‚ 3‚ 4)
a2 (-3‚ 1‚ -1‚ -1)
Теперь‚ чтобы выразить все остальные векторы вне базы через базу‚ нам понадобятся координаты‚ причем каждый вектор будет представлен в виде суммы базисных векторов с определенными коэффициентами․Для примера‚ рассмотрим вектор b (2‚ 4‚ 6‚ 8)․Мы можем выразить его через базу следующим образом⁚
b 2a1 0a2 0a3
Таким образом‚ вектор b может быть выражен как линейная комбинация базисных векторов a1 и a2 с коэффициентами 2 и 0 соответственно․
Аналогичным образом‚ мы можем выразить остальные векторы вне базы через базу‚ используя соответствующие коэффициенты․Таким образом‚ мы нашли базу системы векторов и выразили все векторы вне базы через нее․\[ \begin{bmatrix}
1 n -3 n -1 \\
0 n 7 n 7 \\
\end{bmatrix} \]
Базис системы векторов⁚
a1 (1‚ 2‚ 3‚ 4)
a2 (-3‚ 1‚ -1‚ -1)
Выражение вектора b через базис⁚
b 2a1 0a2 0a3
Таким образом‚ мы нашли базу системы векторов и выразили все векторы вне базы через нее․