Я провел небольшое исследование на эту тему и могу поделиться своими результатами. Чтобы понять, может ли существовать граф с суммой степеней всех вершин, равной 15634, я рассмотрел несколько вариантов.
Сначала я рассмотрел простые графы, где каждая вершина имеет степень 2. В этом случае сумма степеней всех вершин равна двукрату количества вершин, то есть 2n. Но если сумма степеней вершин равна 15634, то по формуле 2n это число должно быть четным. Однако 15634 ⎻ нечетное число, поэтому простой граф с такой суммой степеней не может существовать.
Затем я рассмотрел графы с вершинами различных степеней. В этом случае максимально возможная сумма степеней вершин соответствует графу, где одна вершина имеет степень n ⎻ 1, а все остальные вершины имеют степень 1. Такой граф называется ″звездой″. Сумма степеней вершин в звезде равна n ⎻ 1.Для нахождения максимально возможной суммы степеней вершин меньше 15634 можно воспользоваться следующими выкладками. Пусть в графе есть k вершин со степенью больше 1 (k > 1). Для такого графа сумма степеней вершин будет равна 2k (n ⎻ k), где n ⎻ общее количество вершин. Нам нужно найти максимальное значение этого выражения, при условии, что оно меньше 15634.Рассмотрим каждый случай⁚
1. Если k 2٫ то сумма степеней вершин равна 2*2 (n ⎻ 2) 4 (n ー 2) n 2.
Максимально возможное значение этого выражения будет достигаться при n 15632, что дает сумму степеней вершин равной 15634;2. Если k 3, то сумма степеней вершин равна 2*3 (n ⎻ 3) 6 (n ⎻ 3) n 3.
Максимально возможное значение этого выражения будет достигаться при n 15631, что дает сумму степеней вершин равной 15634.3. Если k 4, то сумма степеней вершин равна 2*4 (n ー 4) 8 (n ー 4) n 4.
Максимально возможное значение этого выражения будет достигаться при n 15630, что дает сумму степеней вершин равной 15634.
Таким образом, максимально возможная сумма степеней вершин, меньше 15634, равна 15634 при k 2 и 15632, 15631, 15630 при k 3, 4, 5 соответственно.