а) Чтобы составить уравнение плоскости А1А2А3, мы должны найти векторное произведение двух векторов, которые лежат в этой плоскости. Векторы можно получить, вычитая координаты точек. В данном случае, возьмем вектор А1А2 и А1А3⁚
Вектор А1А2 (5-6٫ 4-8٫ 7-2) (-1٫ -4٫ 5)
Вектор А1А3 (2-6, 4-8, 7-2) (-4, -4, 5)
Теперь найдем их векторное произведение⁚
(-1, -4, 5) x (-4, -4, 5) (20, -1, 12)
Таким образом, уравнение плоскости А1А2А3 будет иметь вид⁚
20x ⎯ y 12z d 0, где d ⎯ неизвестное значение.б) Чтобы составить уравнение прямой А1А2, мы можем использовать общее уравнение прямой, вида⁚
(x — x1) / (x2 ⎯ x1) (y — y1) / (y2 — y1) (z ⎯ z1) / (z2 ⎯ z1)
В данном случае, для точек А1(6,8,2) и А2(5,4,7), уравнение будет иметь вид⁚
(x — 6) / (5 — 6) (y — 8) / (4 ⎯ 8) (z — 2) / (7 ⎯ 2)
упрощая получим⁚
-(x — 6) (y ⎯ 8) / 4 (z ⎯ 2) / 5
в) Чтобы найти уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3, мы можем использовать векторное произведение векторов, лежащих в плоскости. В данном случае, возьмем векторное произведение векторов А1А2 и А1А3, найденных в пункте а).(20, -1, 12) ⎯ вектор, лежащий в плоскости А1А2А3
Теперь найдем векторное произведение вектора (20, -1, 12) и вектора, направленного из точки А4(7,3,7) в точку М⁚
(20, -1, 12) x (-13, -1, -5) (11, 228, -259)
Таким образом, уравнение прямой А4М будет иметь вид⁚
x 7 11t
y 3 228t
z 7 ⎯ 259t
г) Чтобы найти уравнение прямой A3N, параллельной прямой А1А2, мы можем использовать равенство направляющих векторов. В данном случае, направляющий вектор прямой А1А2 равен вектору А1А2, найденному ранее.Найдем точку N, лежащую на прямой А3N. Выберем например N(2, 4, 7).Теперь составим уравнение прямой A3N⁚
x 2 t
y 4 t
z 7 t
Д) Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1А2, мы можем использовать уравнение плоскости, вида⁚
a(x, x0) b(y — y0) c(z — z0) 0
где (a, b, c) — направляющий вектор прямой А1А2.В данном случае٫ направляющий вектор прямой А1А2 равен вектору А1А2٫ найденному ранее.Теперь подставим значения точки А4(7٫ 3٫ 7)⁚
(-1)(x — 7) (-4)(y — 3) 5(z — 7) 0
Упрощая получим⁚
-x 7 4y, 12 5z — 35 0
-x 4y 5z — 40 0
е) Чтобы вычислить синус угла между прямой А1А4 и плоскостью A1А2А3, мы можем использовать формулу⁚
sinθ |(n * d)| / √(n^2 * d^2)
где n ⎯ направляющий вектор плоскости A1А2А3٫ найденный в пункте а)
d ⎯ направляющий вектор прямой А1А4, равный вектору А1А4, найденному вычитанием точек.Вектор А1А4 (7-6, 3-8, 7-2) (1, -5, 5)
Подставим значения⁚
sinθ |(-1, -4, 5) * (1, -5, 5)| / √[(-1, -4, 5)^2 * (1, -5, 5)^2]
sinθ |(-1٫ -4٫ 5) * (1٫ -5٫ 5)| / √[26 * 51]
sinθ |-1 — 20 25| / √(1326)
sinθ 44 / √(1326)
ж) Чтобы вычислить косинус угла между плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3, мы можем использовать формулу⁚
cosθ |(n1 * n2)| / √(n1^2 * n2^2)
где n1 ⎯ направляющий вектор плоскости Оху, равный (1, 0, 0)
n2 ⎯ направляющий вектор плоскости A1А2А3٫ найденный в пункте а)
Подставим значения⁚
cosθ |(1, 0, 0) * (-1, -4, 5)| / √[(1, 0, 0)^2 * (-1, -4, 5)^2]
cosθ |1 * -1 0 0| / √(26)
cosθ |-1| / √(26)
Таким образом, мы получили уравнения, вычисления и значения для каждого пункта задания.