В данной задаче нам нужно найти градусную меру угла между плоскостью (SAC) и плоскостью (ABC), зная что SA 5√7 и ребро SB ⊥ (ABC). Для начала٫ обратимся к свойствам равностороннего треугольника ABC. Так как у нас треугольник равносторонний٫ то все его углы равны 60 градусам. Это означает٫ что угол между плоскостями (ABC) и (SAC) будет равен 180 градусам минус 60 градусов٫ то есть 120 градусов. Теперь обратимся к свойствам тетраэдра SABC. Мы знаем٫ что SA 5√7 и ребро SB ⊥ (ABC). Так как SB ⊥ (ABC)٫ то угол между плоскостью (ABC) и стороной SB будет прямым углом. Используем теперь свойство тетраэдра⁚ сумма площадей любых двух граней тетраэдра равна площади оставшихся двух граней. В нашем случае٫ плоскость (SAC) и плоскость (ABC) имеют общую сторону AC. Так как треугольник ABC равносторонний٫ то его площадь равна (√3/4) * 10^2 25√3. Также мы знаем٫ что площадь грани SAB равна (1/2) * SB * SA (1/2) * SB * 5√7.
Зная, что площадь грани SAB равна 25√3 — площади грани ABC, можем написать уравнение⁚ (1/2) * SB * 5√7 25√3. Решая это уравнение, получаем SB 10√2/√7. Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике SAB, можем найти косинус угла между плоскостями (SAC) и (ABC). cos(угол между плоскостями) (SA^2 SB^2 — AB^2) / (2 * SA * SB) (5√7^2 (10√2/√7)^2 ‒ 10^2) / (2 * 5√7 * 10√2/√7). Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получаем cos(угол между плоскостями) (35 200/7, 100) / (100√2/√7) (35 200/7 ‒ 100) * (√7/100√2) (35 200/7 ‒ 100) * (√7/100√2) (35 200/7 — 100) * (1/10√2).
Вычисляя значения в скобках, получаем cos(угол между плоскостями) (35 200/7 — 100) * (1/10√2) (35*7 200 ‒ 700) * (1/10√2) 245 200 ‒ 700) * (1/10√2) -255 * (1/10√2) -25.5/√2.
Теперь, чтобы найти градусную меру угла между плоскостями (SAC) и (ABC), найдём арккосинус от полученного значения⁚ угол arccos(-25.5/√2).Преобразуем это значение в градусную меру⁚ угол 180 — arccos(-25.5/√2) ≈ 180 ‒ 176.6 ≈ 3.4 градусов.Итак٫ градусная мера угла между плоскостями (SAC) и (ABC) составляет около 3.4 градусов. Ответ⁚ 3.4