В треугольнике ABC угол B равен 30 градусам‚ а сторона AB равна 4․ Мы отмечаем точки A1 и C1 так‚ чтобы треугольники ABC1 и BCA1 стали равносторонними․ Также известно‚ что точки A и A1 находятся по разные стороны от прямой BC‚ а точки C и C1 ‒ по разные стороны от прямой AB․ Кроме того‚ оказывается‚ что отрезок A1A является биссектрисой угла BA1C․ Нам требуется найти длину отрезка CC1․
Давайте разберемся с построением данной фигуры․ Угол B равен 30 градусам‚ что означает‚ что треугольник ABC является остроугольным․ Из этого следует‚ что прямая‚ проходящая через точку B и перпендикулярная стороне AC‚ будет искомой биссектрисой угла BA1C․ Пусть точка D ⎻ точка пересечения биссектрисы с прямой AC․ Заметим‚ что треугольник A1BC1 также является равносторонним‚ поэтому угол A1BC1 равен 60 градусам․ А так как угол ABC равен 30 градусам‚ то угол BA1C равен 120 градусам․ Теперь рассмотрим треугольник A1BA․ Угол A1AB равен половине угла BA1C‚ то есть 60 градусам․ Но так как треугольник A1BA является равносторонним‚ то угол A1AB также равен 60 градусам; Это означает‚ что треугольник A1AB также является равносторонним․ Теперь‚ зная‚ что треугольник A1BA равносторонний‚ мы можем вычислить длину отрезка A1A․ У нас уже есть сторона AB‚ которая равна 4․ В равностороннем треугольнике все стороны равны‚ поэтому A1A также равна 4․ Теперь вернемся к треугольнику ABC․ Треугольник ABD прямоугольный‚ и мы знаем длины его сторон⁚ AB 4 и A1A 4․ Теперь мы можем использовать теорему Пифагора‚ чтобы найти длину стороны BD․
BD^2 AB^2 ‒ A1A^2
BD^2 4^2 ‒ 4^2
BD^2 16 ⎻ 16
BD^2 0
BD 0
Таким образом‚ мы видим‚ что сторона BD равна нулю․ Это означает‚ что точка D совпадает с точкой B․ Теперь мы можем найти длину стороны CC1․
Так как у нас треугольник ABC1 равносторонний‚ то сторона CC1 также равна 4․