Долгое время я задавался вопросом, сколько существует различных пар чисел a и b, которые удовлетворяют условию √a ⏤ √(a b) b. Все началось, когда я наткнулся на эту задачу в одной из математических книг. Сразу же заинтересовавшись, я решил взяться за ее решение.
Первым шагом в поиске различных пар a и b было определение диапазона значений, в которых можно искать решение. Учитывая условие задачи, я ограничился диапазоном от 1 до 2022 для обоих чисел a и b.
Дальше я перешел к анализу уравнения √a ⏤ √(a b) b. Первое, что бросилось в глаза, это наличие арифметических операций с корнями. Чтобы избавиться от корней, я решил выполнить ряд преобразований. Возводя обе части уравнения в квадрат, я получил⁚
a ⏤ 2√a√(a b) (a b) b².
Сократив подобные слагаемые и перенеся их на одну сторону, я получил квадратное уравнение⁚
√a√(a b) a ⏤ b².
Далее, я заметил, что корни различных пар a и b не могут быть отрицательными (так как √a и √(a b) обязаны быть неотрицательными). Поэтому я ограничил диапазон поиска дополнительным условием⁚ a ⏤ b² ≥ 0.
Продолжая преобразования, я квадратирую обе части уравнения и получаю⁚
a(a b) (a ⏤ b²)².
Раскрывая скобки, я получил⁚
а² ab a² ⎻ 2ab² b⁴.
Теперь я переношу все слагаемые на одну сторону и сокращаю⁚
3ab² ⏤ b⁴ 0.
Решая полученное уравнение, я нахожу корни⁚ b 0 или b ±√(3*a).
Окончательно, получаем следующие пары чисел a и b⁚
- a 0٫ b 0٫
- a k^2, b ±k√3,
где k ⏤ любое положительное целое число, удовлетворяющее условию 1 ≤ k ≤ 44.
Таким образом, я нашел количество различных пар чисел a и b, удовлетворяющих условию √a ⏤ √(a b) b, и оно равно 44.