Привет! Сегодня я расскажу тебе о том, как найти уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ треугольника, используя данную информацию о точках А и В, а также уравнения стороны ВС и медианы АМ.
Для начала, давай разберёмся с тем, что такое высота треугольника. Высотой называется отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный стороне, на которую он опущен. Нам нужно найти уравнение этой высоты и её длину.Итак, у нас даны координаты вершин А(2;-3) и В(5;1). Для начала найдём координаты вершины С٫ используя уравнения стороны ВС и медианы АМ.Уравнение стороны ВС имеет вид х 2у 7. Подставим координаты точки В(5;1) в это уравнение⁚
5 2 * 1 7,
5 2 7,
7 7.Уравнение стороны ВС выполняется, это означает, что точка С лежит на этой прямой. Теперь найдем координаты точки С.Уравнение медианы АМ имеет вид 5х ⸺ у 13. Подставим координаты точки А(2;-3) в это уравнение⁚
5 * 2 ─ (-3) 13,
10 3 13,
13 13.
Уравнение медианы АМ также выполняется, поэтому точка С лежит на этой медиане.Исходя из этой информации, мы можем сделать вывод, что точка С является пересечением уравнений ВС и АМ. Давай найдем координаты точки С, решив эту систему уравнений.Система уравнений⁚
х 2у 7,
5х ─ у 13.Умножим первое уравнение на 5, чтобы избавиться от х во втором уравнении⁚
5(х 2у) 5 * 7,
5х 10у 35.Теперь сложим это уравнение с уравнением медианы⁚
5х 10у 5х ─ у 35 13,
10х 9у 48.Теперь решим эту систему уравнений. Я воспользуюсь методом замены⁚
5х 2у 7,
5х ─ у 13.Умножим первое уравнение на 5 и сложим с вторым уравнением⁚
25х 10у 5х ─ у 35 13٫
30х 9у 48.Разделим оба уравнения на 3, чтобы упростить выражения⁚
10х 3у 16.Итак, получили систему⁚
30х 9у 48,
10х 3у 16.Вычтем уравнение 3у из уравнения 9у⁚
30х -10х 48 -16,
20х 32.Разделим обе части уравнения на 20⁚
х 32/20,
х 1.6.Теперь найдем значение у⁚
10 * 1.6 3у 16,
16 3у 16,
3у 16 ─ 16,
3у 0. То есть у 0. Итак, мы нашли координаты точки С⁚ С(1.6;0). Теперь давай найдем уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. Высота является перпендикуляром к стороне АВ, а это значит, что угловой коэффициент этой высоты будет отрицательно обратным к угловому коэффициенту стороны АВ.
Угловой коэффициент стороны АВ равен (y2 ⸺ y1) / (x2 ─ x1) (1 ─ (-3)) / (5 ⸺ 2) 4 / 3.
Отрицательно обратный этому коэффициенту будет равен -3 / 4.
Теперь мы можем использовать точку С(1.6;0) и угловой коэффициент -3 / 4, чтобы найти уравнение высоты.Уравнение прямой в общем виде y kx b, где k ⸺ угловой коэффициент, b ⸺ свободный коэффициент, то есть b ─ это то значение y, которое будет равно, когда x 0.Подставим известные значения в уравнение прямой⁚
0 (-3 / 4) * 1.6 b.Выразим b⁚
0 -12 / 10 b٫
b 12 / 10,
b 1.2.
Таким образом, уравнение высоты выглядит так⁚ y (-3 / 4)x 1.2.И наконец, давай найдем длину высоты. Для этого потребуется использовать формулу для расстояния между точкой и прямой.Формула для расстояния между точкой (x0; y0) и прямой Ax By C 0⁚
d |A*x0 B*y0 C| / sqrt(A^2 B^2).Наше уравнение высоты y (-3 / 4)x 1.2 имеет вид Ax By C 0٫ где A -3/4٫ B 1٫ C -1.2.Подставим координаты точки А(2;-3) в формулу и найдем длину высоты⁚
d |-3/4 * 2 1 * (-3) ─ 1.2| / sqrt((-3/4)^2 1^2)٫
d |-6/4 ⸺ 3 ⸺ 1.2| / sqrt((9/16) 1),
d |-24/16 ⸺ 48/16 ─ 16/10| / sqrt((9/16) 1)٫
d |-88/16| / sqrt(25/16)٫
d 88/16 / 5/4٫
d 22/5.Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна 22/5.
Вот и всё! Теперь у нас есть уравнение высоты и её длина для треугольника, заданного точками А(2;-3) и В(5;1), уравнениями стороны ВС х 2у 7 и медианы АМ 5х ⸺ у 13. Буду рад, если мой опыт поможет тебе в решении подобных задач!