Однажды я, Флавий, решил отправиться на рынок со своими древними римскими монетами, чтобы приобрести товары. У меня было 12 монет разных номиналов⁚ по две монеты каждого из шести наиболее распространенных монетных единиц в Древнем Риме. Моя задача была оплатить свою покупку на сумму 48 унций, используя именно эти монеты. Мне было известно, что монеты одного номинала считаются одинаковыми, поэтому я не мог использовать каждую из двух одинаковых монет одновременно. Моей целью было узнать, сколько существует способов оплатить покупку именно таким образом, чтобы у меня не оставалось сдачи. Для решения этой задачи можно воспользоваться методом динамического программирования. Мы можем создать таблицу, где строки соответствуют различным номиналам монет, а столбцы ― суммам денег, которые нам нужно заплатить. В каждой ячейке таблицы мы можем посчитать, сколько способов можно составить данную сумму, используя только монеты данного номинала и монеты более низкого номинала. Начнем с самого простого случая⁚ если нам нужно заплатить 0 унций, у нас есть только один способ ― не платить ничего. Таким образом, мы заполняем первую строку таблицы. Затем мы переходим к следующей сумме ― 1 унция. У нас есть две монеты номиналом в 1 унцию, поэтому у нас также есть два способа составить эту сумму⁚ использовать одну монету номиналом в 1 унцию или не использовать монеты данного номинала.
По мере продвижения по таблице мы увидим, что количество способов оплаты каждой суммы будет равно сумме количества способов использования монеты данного номинала и количества способов использования монеты более низкого номинала.Итак, заполним таблицу и узнаем, сколько существует способов оплатить покупку на 48 унций⁚
Номинал монеты\Сумма покупки 0 1 2 3 ... 48
Унция 1 1 1 1 ... 1
Секстанс 1 2 2 2 ... 2
Квадранс 1 3 4 4 ... 4
Триенс 1 4 7 8 ... 10
Семис 1 5 12 19 ... 36
Асс 1 6 18 37 ... 139
Видим, что на 48 унций существует 139 различных способов оплаты, используя только эти монеты.
Таким образом, я узнал, что существует достаточно много способов оплатить покупку стоимостью 48 унций, используя мои римские монеты. Я мог бы даже экспериментировать с другими комбинациями монет, чтобы найти еще больше способов. Это был интересный опыт, и я рад, что смог самостоятельно решить эту задачу.