1․ Задайте перечислением элементов следующие множества⁚
а) Множество, единственным элементом которого является название моего города⁚
Множество {Новосибирск}
б) Множество простых чисел между 10 и 20⁚
Множество {11, 13, 17, 19}
2․ Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождества⁚
а) A∪ (B ∩ C) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Для доказательства этого тождества можно использовать диаграммы Эйлера-Венна․ Возьмем три множества A, B и C, обозначим их на диаграмме как круги․ Пересечение B и C обозначим как перекрывающуюся область между двумя кругами․ Объединение A и этой перекрывающейся области обозначим как объединение круга A и перекрывающейся области․ Тогда объединение этой новой области с C обозначим как объединение круга AC․ Также объединение B и этой перекрывающейся области обозначим как объединение круга BC․ Получим два новых круга ‒ AC и BC․ Наконец, объединим эти два круга и обозначим как объединение круга A∪B и C․ Полученная область будет равна A∪ (B ∩ C)․ Итак, мы показали, что A∪ (B ∩ C) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)․
б) (A ∪ B) C (AC) ∪ (BC)
Снова используем диаграммы․ Представим множества A и B как отдельные круги․ Затем возьмем множество С и обозначим его отдельным кругом․ При объединении кругов A и B получим новую область A∪B․ Затем найдем пересечение этой новой области с кругом C и обозначим это пересечение как (AC)․ Аналогично, найдем пересечение круга B с кругом C и обозначим его как (BC)․ Таким образом, мы получаем две новые области (AC) и (BC)․ Наконец, объединим эти две новые области и обозначим их как объединение (AC) и (BC)․ Полученная область будет равна (A ∪ B) C․ Итак, мы показали, что (A ∪ B) C (AC) ∪ (BC)․
в) A∪ (A ∩ B) A ∪ B’
Здесь также воспользуемся диаграммами․ Представим множество A как круг, а множество B обозначим в виде перекрывающейся области с кругом A․ Также обозначим область, которая лежит вне перекрывающейся области B с кругом A как B’․ Тогда объединение круга A и перекрывающейся области B будет равно A∪ (A ∩ B)․ Объединение этой новой области с B’ будет равно A ∪ B’․ Итак, мы показали, что A∪ (A ∩ B) A ∪ B’․
В итоге, используя диаграммы Эйлера-Венна, мы доказали три тождества⁚
а) A∪ (B ∩ C) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
б) (A ∪ B) C (AC) ∪ (BC)
в) A∪ (A ∩ B) A ∪ B’