Я с удовольствием расскажу о том, какие из данных операций на множестве действительных чисел R являются ассоциативными.
Для начала, давайте определим, что такое ассоциативная операция. Операция называется ассоциативной, если порядок выполнения операций не влияет на результат. Иными словами, для любых трех элементов a, b и c, выполняется следующее условие⁚
(a * b) * c a * (b * c),
где * обозначает нашу операцию.Рассмотрим первую операцию f(x, y) (x – y)2. Для проверки ассоциативности давайте возьмем три произвольных числа a, b и c и применим операцию по указанному выше правилу⁚
((a – b) * c) ((a – b) * c) (a – b)2 * c (a2 – 2ab b2) * c a2c – 2abc b2c,
(a * (b * c)) (a * (b – c)) a * (b – c)2 a * (b2 – 2bc c2) ab2 – 2abc ac2.Как видите٫ значение левой и правой частей равны٫ следовательно٫ эта операция ассоциативна.Рассмотрим теперь вторую операцию f(x٫ y) x2y2. Применим ту же процедуру проверки ассоциативности⁚
((a2 * b) * c) ((a2 * b) * c) (a2b2 * c) a2b2c2,
(a * (b * c)) (a * (b2 * c2)) a * (b2c2) a2b2c2.Опять же٫ значение левой и правой частей равны٫ поэтому эта операция также являеться ассоциативной.Наконец٫ рассмотрим третью операцию f(x٫ y) (x – y)3. Применим ту же процедуру⁚
((a – b) * c) ((a – b) * c) (a – b)3 * c (a3 – 3a2b 3ab2 – b3) * c a3c – 3a2bc 3ab2c – b3c,
(a * (b * c)) (a * (b – c)3) a * (b3 – 3b2c 3bc2 – c3) ab3 – 3a2bc 3abc2 – ac3.
Опять же, значения левой и правой частей равны, следовательно, эта операция также является ассоциативной.
Таким образом, все три предложенные операции на множестве действительных чисел R являются ассоциативными.