Определение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Я хотел бы поделиться с вами своим опытом и уникальным методом определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии․ Недавно я столкнулся с задачей, в которой необходимо было найти сумму данной прогрессии, и мне удалось разработать простой и эффективный способ решения․Предположим, что нам известны две суммы последовательных членов прогрессии⁚ сумма первого и четвёртого членов равна 63, а сумма второго и третьего ⸺ 42․ Нашей задачей будет определить общую сумму всех членов прогрессии․Для начала, давайте обозначим первый член прогрессии как а, а знаменатель ⸺ q․ Тогда последовательные члены прогрессии будут иметь вид⁚
a, a*q, a*q^2, a*q^3, ․․․
Теперь, используя известные значения сумм, мы можем записать следующие уравнения⁚
a a*q^3 63
a*q a*q^2 42
Вопрос состоит в том, как использовать эти уравнения, чтобы определить сумму всех членов прогрессии․Мой метод заключается в том, чтобы разделить первое уравнение на второе⁚
(a a*q^3) / (a*q a*q^2) 63 / 42
Упростив это уравнение, получим⁚
q^2 ⸺ q ⸺ 2/3 0
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение․ Можно использовать стандартную формулу дискриминанта для нахождения корней․ Раскрываем скобки и получаем⁚
q^2 ― q ― 2/3 0
3q^2 ⸺ 3q ― 2 0
Дискриминант этого уравнения равен D (-3)^2 ― 4*3*(-2) 25․ Так как D > 0٫ у нас есть два различных корня⁚ q1 (-(-3) sqrt(25)) / (2*3) 1 и q2 (-(-3) ⸺ sqrt(25)) / (2*3) -2/3․Заметим٫ что q2 -2/3 не может быть решением٫ так как это приведет к неопределенности и невозможности определить прогрессию․ Таким образом٫ мы выбираем q1 1․Теперь٫ используя найденное значение q1 1٫ мы можем найти a٫ подставив его в любое из уравнений․ Давайте воспользуемся первым уравнением⁚
a a*1^3 63
a a 63
2a 63
a 31․5
Таким образом, первый член прогрессии a равен 31․5, а знаменатель q равен 1․ Теперь мы имеем все необходимые данные для определения суммы всех членов прогрессии․Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле⁚
S a / (1 ― q)
Подставим наши значения⁚
S 31․5 / (1 ⸺ 1) 31․5 / 0 ∞
Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии не существует или равна бесконечности․