Мой опыт построения графика и нахождения точек пересечения
Когда я стал изучать решение уравнений и построение графиков функций‚ одной из интересных задач‚ с которой я столкнулся‚ было построение графика функции и нахождение точек пересечения с прямой․ В этой статье я хотел бы поделиться своим опытом и процессом решения данной задачи․Для начала‚ дана функция у3х-5/3x²-5x․ Чтобы построить ее график‚ я начал с нахождения основных характеристик функции․ Сначала вычислил вершину параболы (аппликат точки‚ где график функции достигает экстремума) по формуле x -b/(2a)‚ где a и b ⎼ коэффициенты при x в квадрате и x соответственно․ В данном случае a -5/3‚ b -5‚ поэтому x -(-5)/(2*(-5/3)) -5/2․ Получили значение x‚ теперь можем найти значение у․ Подставляя x -5/2 в исходное уравнение‚ получим y 3*(-5/2)-5/3*(-5/2)²-5*(-5/2) -37․5․ Таким образом‚ вершина параболы находится в точке (-5/2‚ -37․5)․
Далее‚ я вычислил значения функции для нескольких произвольно выбранных значений x‚ чтобы построить некоторые точки на графике․ Например‚ для x -2‚ получим y 3*(-2)-5/3*(-2)²-5*(-2) -4․ Для x 0‚ y 0․ Для x 2‚ y 4․ И так далее․
После того‚ как я вычислил значения функции для нескольких точек‚ я начал строить график․ Я взял прямые координатные оси x и y и отметил на них найденные точки․ Затем я соединил точки линией‚ получив гладкую кривую‚ которая представляет график функции у3х-5/3x²-5x․
Теперь‚ чтобы определить значения k‚ при которых прямая ykx имеет ровно одну общую точку с графиком функции‚ я провел следующие действия․ Подставив выражение ykx в функцию у3х-5/3x²-5x‚ получим уравнение kx3х-5/3x²-5x․ Приводим его к квадратному виду⁚ 5/3x² (5-k)x ⎼ kx 0․ Поскольку нужно найти значения k‚ при которых прямая ykx пересекает график функции только в одной точке‚ уравнение должно иметь только один корень квадратного уравнения․
Для уравнения 5/3x² (5-k)x ⎼ kx 0‚ дискриминант должен быть равен нулю․ Записываем формулу дискриминанта D b²-4ac и приравниваем его к нулю⁚ (5-k)² ⎯ 4*(5/3)*(-k) 0․ Раскрываем скобки⁚ 25-10k k² 20k/3 0․ Приводим к общему знаменателю и объединяем подобные члены⁚ (3k² 30k)/3 (k² 10k)/3 -25․
Теперь имеем квадратное уравнение k² 10k 750․ Записываем его в дискриминантной форме⁚ D b²-4ac 10²-4*1*75 100-300 -200․ Поскольку дискриминант отрицательный‚ уравнение не имеет действительных корней․ Это значит‚ что прямая ykx не имеет общих точек с графиком функции у3х-5/3x²-5x для любых значений k․