Я решил проанализировать данное отношение на его свойства эквивалентности ー рефлексивность, симметричность и транзитивность․
Для начала, рассмотрим свойство рефлексивности․ Оно означает, что каждый элемент множества должен быть в отношении с самим собой․ Давайте проверим, выполняется ли это свойство для отношения n ρ m, где n ≥ 5m․Допустим, у нас есть некоторое число n, которое принадлежит множеству целых положительных чисел․ Чтобы n было в отношении с самим собой, n должно быть больше или равно 5n․ Так как мы имеем дело только с целыми положительными числами, условие n ≥ 5n не выполняется ни для одного числа․ Поэтому отношение n ρ m не является рефлексивным, так как не выполняется даже одно из чисел․Теперь давайте рассмотрим свойство симметричности․ Оно говорит о том, что если n находится в отношении с m, то и m находится в отношении с n․ Для отношения n ρ m, где n ≥ 5m, это означает, что если n ≥ 5m, то и m ≥ 5n․
Берём некоторое число n, которое больше или равно 5m․ Если мы домножим обе части неравенства на 5, получим 5n ≥ 25m․ Очевидно, что это неравенство не выполняется для всех значений m․ Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что отношение n ρ m не является симметричным․Осталось рассмотреть свойство транзитивности․ Оно говорит о том, что если n находится в отношении с m, а m находится в отношении с l, то и n находиться в отношении с l․ Для отношения n ρ m, где n ≥ 5m, это означает, что если n ≥ 5m и m ≥ 5l, то и n ≥ 5l․Допустим, у нас есть числа n, m и l, такие что n ≥ 5m и m ≥ 5l․ Умножим первое неравенство на 5, чтобы получить 5n ≥ 25m․ Поскольку m ≥ 5l, умножим второе неравенство на 25, чтобы получить 25m ≥ 125l․ Совмещая эти два неравенства, мы можем записать 5n ≥ 125l․ Таким образом, отношение n ρ m является транзитивным․
Итак, в итоге мы видим, что отношение n ρ m не является ни рефлексивным, ни симметричным, но является транзитивным․ То есть, отношение n ρ m не является отношением эквивалентности․