4. Вычислите скалярное произведение векторов 𝑎̃ и 𝑏̃ если⁚
a) |𝑣𝑒𝑐 𝑎̃|6, |𝑣𝑒𝑐 𝑏̃|3, а угол между ними равен 60°
Я рассмотрел такую ситуацию на примере двух векторов⁚ 𝑣𝑒𝑐 𝑎̃ и 𝑣𝑒𝑐 𝑏̃. Длины этих векторов составляют 6 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60°.Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле⁚
𝑎̃⋅𝑏̃ |𝑣𝑒𝑐 𝑎̃| × |𝑣𝑒𝑐 𝑏̃| × cos(θ),
где 𝑣𝑒𝑐 𝑎̃ и 𝑣𝑒𝑐 𝑏̃ обозначают длины векторов 𝑎̃ и 𝑏̃, а θ ‒ угол между векторами.Используя данную формулу в нашем случае, получим⁚
𝑎̃⋅𝑏̃ 6 × 3 × cos(60°)
Радиус окружности соответствующей треугольнику равен удваиванию радиуса вписанной окружности.
В соответствии с этим фактом, длины сторон треугольника соотносятся следующим образом⁚
|𝑣𝑒𝑐 𝑎̃| ⁚ |𝑣𝑒𝑐 𝑏̃| ⁚ |𝑣𝑒𝑐 𝑎̃ − 𝑣𝑒𝑐 𝑏̃| 2 ⁚ 1 ⁚ √3.Таким образом, длина стороны 𝑣𝑒𝑐 𝑎̃ − 𝑣𝑒𝑐 𝑏̃ составляет √3.Возвращаясь к расчётам, подставим значения в формулу⁚
𝑎̃⋅𝑏̃ 6 × 3 × cos(60°) 18 × 0.5 9
Таким образом, скалярное произведение векторов 𝑎̃ и 𝑏̃ равно 9.То есть 𝑣𝑒𝑐 𝑎̃⋅𝑣𝑒𝑐 𝑏̃ 9.vec𝑚 overline{𝑛} {3;–2} и {–2;3}
Опять же, я опробовал эту ситуацию и рассмотрел вектора 𝑚̃ и 𝑛̃. Они заданы координатами {3;–2} и {–2;3} соответственно.Векторное произведение векторов вычисляется по формуле⁚
vec𝑚 overline{𝑛} (𝑚1 × 𝑛2) ― (𝑚2 × 𝑛1),
где 𝑚1 и 𝑚2 обозначают координаты вектора 𝑚̃, а 𝑛1 и 𝑛2 ― координаты вектора 𝑛̃.Используя данную формулу в нашем случае, получим⁚
vec𝑚 overline{𝑛} (3 × 3) ‒ (–2 × –2) 9 ‒ 4 5.
Таким образом, векторное произведение векторов 𝑚̃ и 𝑛̃ равно 5.
То есть vec𝑚 overline{𝑛} 5.