Привет! Рад, что ты обратился к мне для помощи. Давай рассмотрим каждое задание по порядку.1. Найдите производную функции⁚
а) y e^x – sin x
Для решения этой задачи нам понадобится знание производных основных элементарных функций. Производная экспоненциальной функции равна самой функции, а производная синуса равна минус косинусу. Таким образом⁚
dy/dx d(e^x)/dx ⏤ d(sin(x))/dx
e^x ─ cos x
б) y x^3 * ln(x) ln(4)
Здесь нам понадобится использование правила производной произведения. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции. Применяем это правило⁚
dy/dx d(x^3)/dx * ln(x) x^3 * d(ln(x))/dx
3x^2 * ln(x) x^3 * (1/x)
3x^2 * ln(x) x^2
а) y e^x – x^7
Производная экспоненциальной функции равна самой функции, а производная степенной функции равна произведению степени на основание, умноженное на производную логарифма основания. Применяем это правило⁚
dy/dx d(e^x)/dx ⏤ d(x^7)/dx
e^x ⏤ 7x^6
2. Вычислите значение производной функции y 3^x x^3 – 1 в точке x 0
Для вычисления значения производной в точке, нам нужно подставить значение x в выражение для производной и вычислить. Для этой функции⁚
dy/dx d(3^x)/dx d(x^3)/dx ─ d(1)/dx
3^x * ln(3) 3x^2
Теперь, чтобы найти значение производной в точке x 0, мы подставляем эту точку в полученное выражение⁚
dy/dx 3^0 * ln(3) 3(0)^2
1 * ln(3) 0
ln(3)
Таким образом, значение производной функции y 3^x x^3 – 1 в точке x 0 равно ln(3).3. Вычислите значение производной функции y 3e^x – cos(2x) в точке x 0
Для этой функции⁚
dy/dx d(3e^x)/dx ⏤ d(cos(2x))/dx
3e^x 2sin(2x)
Подставляем x 0⁚
dy/dx 3e^0 2sin(2 * 0)
3 2sin(0)
3 2 * 0
3
Таким образом, значение производной функции y 3e^x – cos(2x) в точке x 0 равно 3.4. Найдите производную функции (x^5)/8 – (x^3)/4 x^2 – ln(x/2) в точке x 2
Для этой функции, нужно поочередно найти производные каждого слагаемого и сложить результаты⁚
dy/dx d((x^5)/8)/dx ─ d((x^3)/4)/dx d(x^2)/dx ─ d(ln(x/2))/dx
(5x^4)/8 ─ (3x^2)/4 2x ─ (1/x)
(5x^4 ⏤ 6x^2)/8 2x ─ (1/x)
Подставляем x 2⁚
dy/dx (5 * 2^4 ⏤ 6 * 2^2)/8 2 * 2 ─ (1/2)
(5 * 16 ⏤ 6 * 4)/8 4 ─ 1/2
(80 ⏤ 24)/8 4 ─ 1/2
56/8 8/2 ─ 1/2
7 4 ─ 1/2
10.5
Таким образом, значение производной функции (x^5)/8 – (x^3)/4 x^2 – ln(x/2) в точке x 2 равно 10.5.5. Вычислите значение производной функции y (x^3)/2 – ln(2x) в точке x 2
Для этой функции⁚
dy/dx d((x^3)/2)/dx ─ d(ln(2x))/dx
(3x^2)/2 ⏤ (1/(2x))
Подставляем x 2⁚
dy/dx (3 * (2^2))/2 ⏤ (1/(2 * 2))
(3 * 4)/2 ─ (1/4)
12/2 ⏤ 1/4
6 ⏤ 1/4
5.75
Таким образом, значение производной функции y (x^3)/2 – ln(2x) в точке x 2 равно 5.75.6. Вычислите значение производной функции y ln(2x 11) 5x в точке x –5
Для этой функции⁚
dy/dx d(ln(2x 11))/dx d(5x)/dx
(1/(2x 11)) * 2 5
Подставляем x –5⁚
dy/dx (1/(2 * (-5) 11)) * 2 5
(1/1) * 2 5
2 5
7
Таким образом, значение производной функции y ln(2x 11) 5x в точке x –5 равно 7.7. Вычислите значение производной функции y (1/2) * tan(4x – π) – 3^2 π в точке x π/4
Для этой функции⁚
dy/dx (1/2) * sec^2(4x ─ π) * 4 ⏤ 0 0
(2/2) * sec^2(4x ⏤ π) * 4
4sec^2(4x ─ π)
Подставляем x π/4:
dy/dx 4sec^2(4 * (π/4) ⏤ π)
4sec^2(π ⏤ π)
4sec^2(0)
4 * 1
4
Таким образом, значение производной функции y (1/2) * tan(4x – π) – 3^2 π в точке x π/4 равно 4.
Надеюсь, это поможет тебе с выполнением задания! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся обратиться ко мне. Удачи!