В пространстве V3, где имеется декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ,k⃗ ), рассмотрим вектор c⃗, который перпендикулярен вектору a⃗ {−1;2;4} и оси Oz, а также образует с осью Ox острый угол. Нашей задачей является нахождение координат вектора c⃗, при условии, что |c⃗ |220.Для начала, найдем косинус угла между векторами a⃗ и c⃗, используя формулу скалярного произведения⁚
cos α (a⃗⋅c⃗) / (|a⃗|⋅|c⃗|)
где α ౼ угол между векторами, a⃗ и c⃗. Здесь |a⃗| обозначает длину вектора a⃗, а |c⃗| ౼ длину вектора c⃗.Так как |a⃗| √((-1)^2 2^2 4^2) √(1 4 16) √21٫ а длину вектора c⃗ мы хотим найти٫ то длина вектора c⃗ равна √20٫ так как |c⃗|^2 20.cos α (a⃗⋅c⃗) / (√21⋅√20)
Так как мы знаем, что угол между векторами a⃗ и c⃗ острый, то cos α > 0. Из этого следует, что a⃗⋅c⃗ > 0. Следовательно, a⃗⋅c⃗ (√21⋅√20⋅cos α) > 0. Перейдем к нахождению вектора c⃗; Поскольку вектор c⃗ перпендикулярен вектору a⃗ и оси Oz, его координаты на этих осях равны нулю⁚ c⃗ {x; y; 0}. Теперь воспользуемся информацией о том, что a⃗⋅c⃗ (√21⋅√20⋅cos α) > 0. Так как координата z вектора a⃗ равна 4, то произведение z-координаты векторa a⃗ и z-координаты векторa c⃗ должно быть меньше нуля.
Таким образом, у нас получается неравенство⁚ 4⋅0 < 0, что является ложным утверждением. Из этого следует, что не существует вектора c⃗, который удовлетворяет всем требованиям задачи.