На практике, я сталкивался с такой ситуацией, когда для решения задач было необходимо определить скалярное произведение векторов. Одним из примеров такой задачи может служить ситуация, в которой у нас имеются два вектора⁚ m→ и n→, которые взаимно перпендикулярны между собой и имеют одинаковую длину ⎻ 5 см. Нам необходимо определить скалярное произведение векторов c→ и d→, заданных следующим образом⁚
c→3⋅m→−2⋅n→٫
d→2⋅m→ 2⋅n→;Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться следующей формулой для скалярного произведения двух векторов⁚
c→⋅d→|c→||d→|cosθ,
где |c→| и |d→| ⎻ длины векторов c→ и d→ соответственно, а cosθ ⎻ косинус угла между векторами.Так как вектора m→ и n→ имеют одинаковую длину ⎯ 5 см, то |m→||n→|5. Подставляя значения векторов c→ и d→ в формулу для скалярного произведения, получаем⁚
c→⋅d→(3⋅m→−2⋅n→)⋅(2⋅m→ 2⋅n→).Выполняя умножение, получаем⁚
c→⋅d→6⋅(m→⋅m→) 6⋅(m→⋅n→)−4⋅(n→⋅m→)−4⋅(n→⋅n→).Мы знаем٫ что векторы m→ и n→ взаимно перпендикулярны٫ что означает٫ что их скалярное произведение равно нулю⁚ m→⋅n→n→⋅m→0. Подставив это значение в уравнение٫ получаем⁚
c→⋅d→6⋅(m→⋅m→)−4⋅(n→⋅n→).Так как векторы m→ и n→ имеют одинаковую длину, то m→⋅m→n→⋅n→25. Подставляя этот результат в уравнение, имеем⁚
c→⋅d→6⋅25−4⋅25150−10050.
Таким образом, скалярное произведение векторов c→ и d→ равно 50; Это значение подтверждает нашу формулу и показывает, что векторы c→ и d→ не ортогональны, а образуют определенный угол между собой.