а) Для нахождения многочлена наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, у которого корнем является число корень из 7 – 2, мы должны использовать свойство алгебраической аддитивности корней.Пусть x корень из 7 – 2
Тогда, возводя в квадрат обе части равенства, мы получим⁚
x^2 (корень из 7 – 2)^2
x^2 7 – 4√7 4
x^2 11 – 4√7
Теперь у нас есть квадратный корень 7 в уравнении, но мы хотим избавиться от него. Пусть y √7. Тогда у нас получится следующее⁚
x^2 11 – 4y
x^2 4y 11
Таким образом, мы нашли многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, у которого корнем является число корень из 7 – 2.б) Теперь, когда у нас есть многочлен наименьшей положительной степени, мы можем его использовать для нахождения значения f(x). Для этого мы подставим каждое значение из многочлена наименьшей положительной степени вместо x в многочлен f(x).Исходный многочлен f(x) x^10 6x^9 6x^8-5x^7 6x^6 5x^5 6x^4-4x^3 8x^2-4x 8
Заменим x на x^2 4y⁚
f(x) (x^2 4y)^10 6(x^2 4y)^9 6(x^2 4y)^8 ⸺ 5(x^2 4y)^7 6(x^2 4y)^6 5(x^2 4y)^5 6(x^2 4y)^4 ― 4(x^2 4y)^3 8(x^2 4y)^2 ⸺ 4(x^2 4y) 8
Раскрываем каждую степень и сокращаем подобные слагаемые. Получаем⁚
f(x) x^20 40yx^18 560y^2x^16 3360y^3x^14 11200y^4x^12 22400y^5x^10 24000y^6x^8 12800y^7x^6 2560y^8x^4 520y^9x^2 16y^10 6x^19 240yx^17 3360y^2x^15 20160y^3x^13 56000y^4x^11 89600y^5x^9 96000y^6x^7 51200y^7x^5 10240y^8x^3 2080y^9x 64yx^18 3360y^2x^16 67200y^3x^14 67200y^4x^12 201600y^5x^10 268800y^6x^8 153600y^7x^6 30720y^8x^4 6240y^9x^2 192y^10 ― 5x^17 ― 40yx^15 ― 1120y^2x^13 ― 28000y^3x^11 ⸺ 33600y^4x^9 ⸺ 192000y^5x^7 ⸺ 38400y^6x^5 ― 7680y^7x^3 ― 1560y^8x 6x^16 80yx^14 3840y^2x^12 67200y^3x^10 53760y^4x^8 184320y^5x^6 368640y^6x^4 307200y^7x^2 128000y^8 ⸺ 4x^15 ⸺ 24yx^13 ⸺ 448y^2x^11 ⸺ 6720y^3x^9 ― 28800y^4x^7 ― 38400y^5x^5 ― 10240y^6x^3 ⸺ 2080y^7x 8x^14 64yx^12 1344y^2x^10 13440y^3x^8 44800y^4x^6 51200y^5x^4 19200y^6x^2 3200y^7 ― 4x^13 ― 32yx^11 ⸺ 832y^2x^9 ⸺ 8960y^3x^7 ⸺ 32000y^4x^5 ⸺ 38400y^5x^3 ⸺ 12800y^6x 8x^12 96yx^10 2880y^2x^8 31360y^3x^6 112000y^4x^4 128000y^5x^2 51200y^6 ― 4x^11 ― 48yx^9 ⸺ 1792y^2x^7 ⸺ 22400y^3x^5 ⸺ 89600y^4x^3 ― 76800y^5x 8x^10 160yx^8 6720y^2x^6 94080y^3x^4 448000y^4x^2 588800y^5 ⸺ 4x^9 ⸺ 56yx^7 ⸺ 2688y^2x^5 ⸺ 46080y^3x^3 ― 256000y^4x 8x^8 224yx^6 11200y^2x^4 215040y^3x^2 1126400y^4 ⸺ 4x^7 ⸺ 64yx^5 ⸺ 3840y^2x^3 ― 92160y^3x 8x^6 416yx^4 26880y^2x^2 204800y^3 ― 4x^5 ― 96yx^3 ⸺ 7680y^2x 8x^4 576yx^2 51200y^2 ⸺ 4x^3 ⸺ 224yx 8x^2 64y ⸺ 4x 8
Теперь мы можем записать найденные числа через точку⁚
a 40
b 560