Привет! Я расскажу тебе о моем личном опыте с линейным оператором зеркального отражения от плоскости. В данной задаче мы имеем плоскость с уравнением 2x 41y 23z 0. Наша задача ⎻ доказать, что число λ -1 является собственным для этого оператора и найти отвечающий ему собственный вектор вида (2, α, β).
Для начала, давайте вспомним, что собственный вектор ⎻ это ненулевой вектор, который при применении линейного оператора остается коллинеарным самому себе, изменяясь только по масштабу, который задается числом λ, называемым собственным значением.Для доказательства того, что λ -1 является собственным значением, нужно показать, что существует такой ненулевой вектор (2, α, β), что оператор зеркального отражения от плоскости примененный к этому вектору дает вектор, который коллинеарен исходному, но с противоположным направлением.Рассмотрим вектор (2, α, β) и применим к нему оператор зеркального отражения от плоскости. Для оператора зеркального отражения нормаль плоскости, на которой происходит отражение, является собственным вектором, а собственное значение равно -1. То есть, у нас должны выполниться условия⁚
(2, α, β) -1 * (2, α, β)
Упростим это уравнение⁚
2 -2
α -α
β -β
Как видно, все условия выполняются. Значит, вектор (2, α, β) является собственным, а собственное значение равно -1.
Теперь найдем значения α и β. Из уравнений α -α и β -β следует, что α 0 и β 0. Таким образом, собственный вектор имеет вид (2, 0, 0).
Итак, ответ⁚ α 0; β 0.
В этой статье я рассказал о своем опыте с линейным оператором зеркального отражения от плоскости и доказал, что число λ -1 является собственным значением этого оператора. Также, найден собственный вектор вида (2, α, β), где α 0 и β 0. Этот опыт помог мне лучше понять принципы работы операторов зеркального отражения и их свойства.