Привет! Сегодня я расскажу о том, как решить задачу по нахождению частной производной третьего порядка функции U(x, y, z) и вычислить ее значение в конкретной точке M(1; 1; 1).
Дана функция U(x, y, z) 7x^4 * y^5 * z^3 7x^5 * y^3 * z^4. Нам нужно найти частную производную третьего порядка этой функции по переменной z и вычислить ее значение в точке M(1; 1; 1).Для начала, найдем частную производную функции U(x, y, z) по переменной z. Для этого нужно продифференцировать функцию по переменной z, считая все остальные переменные постоянными.
Частная производная функции U(x, y, z) по переменной z будет равна производной по z от каждого слагаемого функции U(x, y, z).
Продифференцируем первое слагаемое 7x^4 * y^5 * z^3 по переменной z⁚
∂(7x^4 * y^5 * z^3)/∂z 7x^4 * y^5 * 3z^2 21x^4 * y^5 * z^2.Теперь продифференцируем второе слагаемое 7x^5 * y^3 * z^4 по переменной z⁚
∂(7x^5 * y^3 * z^4)/∂z 7x^5 * y^3 * 4z^3 28x^5 * y^3 * z^3.
Так как мы ищем частную производную третьего порядка по переменной z, нам нужно продифференцировать найденные производные еще два раза по переменной z.При дифференцировании каждого слагаемого, степень z в каждом слагаемом будет уменьшаться на единицу.Итак, продифференцируем первое слагаемое 21x^4 * y^5 * z^2 еще два раза по переменной z⁚
∂^3(21x^4 * y^5 * z^2)/∂z^3 2 * 1 * 21x^4 * y^5 42x^4 * y^5.Продифференцируем второе слагаемое 28x^5 * y^3 * z^3 еще два раза по переменной z⁚
∂^3(28x^5 * y^3 * z^3)/∂z^3 3 * 2 * 28x^5 * y^3 168x^5 * y^3.Теперь нам остается только найти значение полученной частной производной ∂^3U/∂z^3 в точке M(1; 1; 1).Подставим значения x1, y1, z1 в найденную частную производную⁚
∂^3U/∂z^3 (M(1; 1; 1)) 42 * 1^4 * 1^5 168 * 1^5 * 1^3 42 168 210.
Таким образом, значение частной производной третьего порядка ∂^3U/∂z^3 в точке M(1; 1; 1) равно 210.
Вот и все, задача решена! Я надеюсь, что моя статья помогла вам разобраться с этим математическим вопросом. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам!