Привет! Я расскажу тебе о моем опыте работы с функцией y x^3 3x^2 ‒ 4 и помогу найти стационарные точки‚ промежутки монотонности‚ экстремумы‚ построить график функции на отрезке [-3; 2] и найти наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке.1. Стационарные точки функции⁚
Стационарные точки — это точки‚ в которых производная функции равна нулю или не существует. Для нахождения стационарных точек‚ возьмем производную функции⁚
y’ 3x^2 6x
Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение⁚
3x^2 6x 0
x(3x 6) 0
Таким образом‚ мы получаем два значения x⁚ x0 и x-2. Эти значения являются стационарными точками функции.2. Промежутки монотонности⁚
Для определения промежутков монотонности‚ нам понадобится знать знак производной функции. Зная‚ что производная равна y’ 3x^2 6x‚ мы можем проанализировать ее знак. Для этого выберем любое значение x из каждого интервала и подставим его в производную.Начнем с интервала (-∞; -2)⁚
Выберем x -3. Если подставить это значение в производную‚ то получим y’ 3*(-3)^2 6*(-3) 9 — 18 -9. Таким образом‚ производная отрицательна на всем интервале (-∞; -2).Перейдем к интервалу (-2; 0)⁚
Выберем x -1. Если подставить это значение в производную‚ то получим y’ 3*(-1)^2 6*(-1) 3 ‒ 6 -3. Таким образом‚ производная отрицательна на всем интервале (-2; 0).Перейдем к интервалу (0; ∞)⁚
Выберем x 1. Если подставить это значение в производную‚ то получим y’ 3*1^2 6*1 3 6 9. Таким образом‚ производная положительна на всем интервале (0; ∞).Таким образом‚ функция y x^3 3x^2 — 4 монотонно убывает на интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) и монотонно возрастает на интервале (0; ∞).3. Экстремумы функции⁚
Экстремумы функции находятся в стационарных точках. Мы уже определили стационарные точки ранее‚ они равны x0 и x-2. Для нахождения y-координаты экстремума‚ подставим эти значения x в исходную функцию.Для x 0⁚ y 0^3 3*0^2 ‒ 4 -4
Для x -2⁚ y (-2)^3 3*(-2)^2 ‒ 4 -8 12 ‒ 4 0
Таким образом‚ у функции есть экстремумы⁚ минимум в точке (0‚ -4) и максимум в точке (-2‚ 0).4. Построение графика функции на отрезке [-3; 2]⁚
Для построения графика‚ мы можем выбрать несколько значений x в указанном отрезке и подставить их в функцию для получения соответствующих значений y.x -3⁚ y (-3)^3 3*(-3)^2 ‒ 4 -27 27 ‒ 4 -4
x -2⁚ y (-2)^3 3*(-2)^2 — 4 -8 12 — 4 0
x -1⁚ y (-1)^3 3*(-1)^2 ‒ 4 -1 3 — 4 -2
x 0⁚ y 0^3 3*0^2 ‒ 4 -4
x 1⁚ y 1^3 3*1^2 ‒ 4 1 3, 4 0
x 2⁚ y 2^3 3*2^2 ‒ 4 8 12, 4 16
Полученные значения точек на графике⁚ (-3‚ -4)‚ (-2‚ 0)‚ (-1‚ -2)‚ (0‚ -4)‚ (1‚ 0)‚ (2‚ 16).Теперь‚ используя эти точки‚ можно построить график функции на отрезке [-3; 2]. График будет иметь форму параболы‚ убывающей на интервале (-∞; -2)‚ возрастающей на интервале (-2; 0) и вновь убывающей на интервале (0; ∞). Минимум находится в точке (0‚ -4)‚ а максимум — в точке (-2‚ 0).5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [-3; 2]⁚
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на указанном отрезке‚ необходимо вычислить значения функции в каждой из крайних точек.Для x -3⁚ y (-3)^3 3*(-3)^2 ‒ 4 -27 27 — 4 -4
Для x 2⁚ y 2^3 3*2^2 — 4 8 12 ‒ 4 16
Таким образом‚ наибольшее значение функции на отрезке [-3; 2] равно 16‚ а наименьшее значение равно -4.
Вот и все! Я надеюсь‚ что мой опыт работы с функцией y x^3 3x^2 ‒ 4 и указанными вопросами помог тебе разобраться в этой задаче. Если у тебя возникнут еще вопросы‚ обращайся!