Привет! Я недавно изучал векторы и геометрию, и с удовольствием расскажу тебе о том, как решить задачу на основе данных координат вершин пирамиды ABCD. Давай начнем!1. Сначала нам нужно найти векторы АB, AC и AD в системе орт и вычислить их модули. Для этого вычитаем из каждой вершины начальную точку (вершину А).
Вектор AB B ー A (9 ― 5, 3 ― (-1), -6 ー (-4)) (4, 4, -2)
Модуль вектора AB √(4² 4² (-2)²) √(16 16 4) √36 6
Вектор AC C ー A (7 ー 5, 10 ― (-1), -14 ー (-4)) (2, 11, -10)
Модуль вектора AC √(2² 11² (-10)²) √(4 121 100) √225 15
Вектор AD D ― A (5 ー 5, 1 ー (-1), -3 ー (-4)) (0, 2, 1)
Модуль вектора AD √(0² 2² 1²) √(0 4 1) √5 ≈ 2.24
2. Чтобы найти угол между векторами AB и AC, мы можем использовать скалярное произведение двух векторов и свойство косинуса.
AB · AC |AB| * |AC| * cos(θ)
cos(θ) (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
θ arccos((AB · AC) / (|AB| * |AC|))
AB · AC (4 * 2) (4 * 11) (-2 * -10) 8 44 20 72
|AB| * |AC| 6 * 15 90
cos(θ) 72 / 90 ≈ 0.8
θ ≈ arccos(0.8) ≈ 37.88°
3. Чтобы найти проекцию вектора AD на вектор AC, мы можем использовать формулу проекции вектора AD на вектор AC⁚
Проекция вектора AD на вектор AC (AD · AC) / |AC|
AD · AC (0 * 2) (2 * 11) (1 * -10) 22 ー 10 12
|AC| 15
Проекция вектора AD на вектор AC 12 / 15 0.8
4. Для вычисления площади грани ABC мы можем использовать понятие смешанного произведения (тройного скалярного произведения) векторов.
Смешанное произведение (AB, AC, AD) AB · (AC × AD)
AC × AD (2 * 1 ― (-10) * 2, -(2 * 0 ― 1 * (-10)), 2 * 2 ― 1 * 2) (22, -2, 2)
AB · (AC × AD) (4 * 22) (4 * -2) (-2 * 2) 88 ― 8 ー 4 76
Площадь грани ABC |AB · (AC × AD)| / 2 |76| / 2 38
5. Для вычисления объема пирамиды ABCD, мы можем воспользоваться формулой⁚
Объем пирамиды ABCD (1/6) * |(AB × AC) · AD|
AB × AC (4 * 11 ― (-2) * 2, (-2) * 2 ー 4 * 1, 4 * (-10) ー 11 * 2) (46, -8, -96)
(AB × AC) · AD (46 * 0) (-8 * 2) (-96 * 1) -8 ー 96 -104
Объем пирамиды ABCD (1/6) * |-104| 17.33
Вот и все! Мы успешно решили задачу и получили ответы на все пункты. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!