Я расскажу о своем опыте работы с данными координатами вершин пирамиды ABCD и выполнении всех указанных задач. 1) Начнем с записи векторов в системе орт. Для этого нужно вычислить разность координат каждой вершины пирамиды и начала координат (0٫ 0٫ 0). Вектор AB⁚ (5 ― 1٫ 0 ― (-4)٫ (-2) ― 0) (4٫ 4٫ -2). Вектор AC⁚ (3 ― 1٫ 7 ― (-4)٫ (-10) ― 0) (2٫ 11٫ -10). Вектор AD⁚ (1 ― 1٫ (-2) ― (-4)٫ 1 ― 0) (0٫ 2٫ 1).
Теперь найдем модули этих векторов, используя формулу модуля вектора⁚ |AB| √(x² y² z²). |AB| √(4² 4² (-2)²) √(16 16 4) √36 6. |AC| √(2² 11² (-10)²) √(4 121 100) √225 15. |AD| √(0² 2² 1²) √(0 4 1) √5. 2) Следующей задачей является нахождение угла между векторами AB и AC. Для этого используем формулу скалярного произведения векторов и находим угол через арккосинус. Угол будет выражен в радианах.
AB • AC (4 * 2) (4 * 11) (-2 * -10) 8 44 20 72. |AB| * |AC| 6 * 15 90. cos(θ) (AB • AC) / (|AB| * |AC|) 72 / 90 0.8. θ arccos(0.8) ≈ 36.87 градусов. 3) Теперь перейдем к нахождению проекции вектора AB на вектор AC. Проекция вектора AB на вектор AC равна скалярному произведению этих векторов, деленному на квадрат модуля вектора AC, умноженного на сам вектор AC.
Проекция вектора AB на вектор AC ((AB • AC) / |AC|²) * AC
(72 / (15²)) * (2, 11, -10) (72 / 225) * (2, 11, -10) ≈ (0.32, 1.77, -1.6).
4) Вычисление площади грани ABC. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника, в которой первым шагом нужно найти векторное произведение векторов AB и AC.AB x AC (4, 4, -2) x (2, 11, -10).Найдем координаты вектораного произведения путем вычисления определителя матрицы⁚
| i j k |
| 4 4 -2 |
| 2 11 -10 |
i (4 * (-10)) ー (-2 * 11) (-40) ― (-22) -18.
j (4 * (-10)) ― (2 * (-10)) (-40) ー (-20) -20.k (4 * 11) ー (2 * 2) 44 ー 4 40.Таким образом, площадь грани ABC равна половине модуля вектораного произведения AB x AC⁚
S 0.5 * |AB x AC| 0.5 * √((-18)² (-20)² 40²) ≈ 0.5 * √1372 ≈ 18.54.5) Наконец, вычислим объем пирамиды ABCD. Для этого воспользуемся формулой объема пирамиды, в которой необходимо умножить площадь основания (площадь грани ABC) на высоту пирамиды.Объем пирамиды ABCD (S * h) / 3,
где h ー высота пирамиды, которую можно вычислить, используя формулу⁚
h |AD| * cos(θ) √5 * 0.8 ≈ 1.13.Теперь, подставив значения площади грани и высоты, найдем объем пирамиды⁚
Объем пирамиды ABCD ≈ (18.54 * 1.13) / 3 ≈ 6.67.Таким образом, получается, что модули векторов AB, AC и AD равны соответственно 6, 15 и √5. Угол между векторами AB и AC составляет примерно 36.87 градусов. Проекция вектора AB на вектор AC примерно равна (0.32, 1.77, -1.6). Площадь грани ABC составляет примерно 18.54. Объем пирамиды ABCD примерно равен 6.67.