Действительные числа являются основой математики, и они имеют особое значение в различных областях науки и повседневной жизни․ Одна из интересных задач, связанных с действительными числами, связана с определением значения суммы квадратов двух чисел x и y․По условию задачи, нам известно, что сумма чисел x и y равна a минус 2⁚
x y a ー 2 (1)
Также известно, что произведение чисел x и y равно a в квадрате минус 9a плюс 22⁚
xy a^2 ー 9a 22 (2)
Наша задача состоит в том, чтобы найти значение a, при котором сумма x^2 и y^2 принимает наибольшее значение․Для решения этой задачи будем использовать известную формулу суммы квадратов⁚
(x y)^2 x^2 2xy y^2
Подставим в эту формулу известные значения и преобразуем выражение⁚
(x y)^2 x^2 2xy y^2
(x y)^2 x^2 2(a^2 ー 9a 22) y^2 (используем выражение (2) для xy)
(x y)^2 x^2 2a^2 ⎻ 18a 44 y^2
(x y)^2 x^2 y^2 2a^2 ー 18a 44
Теперь мы можем переписать наше исходное уравнение x y a ー 2 (уравнение 1) в следующем виде⁚
(x y)^2 (a ー 2)^2
x^2 y^2 2a^2 ⎻ 18a 44 a^2 ー 4a 4 (возводим a ー 2 в квадрат)
Для нахождения значения a, при котором сумма x^2 и y^2 принимает наибольшее значение, нужно найти максимальное значение выражения x^2 y^2․ Это будет происходить в том случае, когда все остальные слагаемые в уравнении будут минимальными․Мы знаем, что для квадратов чисел x и y все слагаемые, кроме x^2 и y^2, будут постоянными․ Следовательно, чтобы максимизировать сумму x^2 y^2, мы должны минимизировать оставшиеся слагаемые․Рассмотрим выражение 2a^2 ー 18a 44․ Чтобы найти минимальное значение этого квадратного трехчлена, мы можем использовать вершину параболы, описываемой этим трехчленом․ Формула вершины параболы имеет вид⁚
a -b/(2a)
Применяя эту формулу, мы находим⁚
a -(-18)/(2*2) 9/2
Таким образом, значение a, при котором сумма x^2 y^2 принимает наибольшее значение, равно 9/2 или 4․5․
В итоге, наибольшее значение суммы x^2 y^2 будет достигаться при a 4․5․