Докажу, что ABCD ― ромб на основании координат точек A, B, C и D
Для начала, давайте найдем длины всех сторон ромба ABCD⁚
Сторона AB⁚ AB sqrt((x2 ― x1)^2 (y2 ─ y1)^2 (z2 ― z1)^2)
Где (x1, y1, z1) (9, 2, 8) и (x2, y2, z2) (5, 3, -2)
AB sqrt((5 ─ 9)^2 (3 ― 2)^2 (-2 ─ 8)^2)
AB sqrt((-4)^2 (1)^2 (-10)^2)
AB sqrt(16 1 100)
AB sqrt(117)
Теперь найдем длины остальных трех сторон⁚
BC⁚ BC sqrt((x2 ─ x1)^2 (y2 ─ y1)^2 (z2 ― z1)^2)
Где (x1, y1, z1) (5, 3, -2) и (x2, y2, z2) (-3, -4, -4)
BC sqrt((-3 ─ 5)^2 (-4 ─ 3)^2 (-4 ― (-2))^2)
BC sqrt((-8)^2 (-7)^2 (-2)^2)
BC sqrt(64 49 4)
BC sqrt(117)
CD⁚ CD sqrt((x2 ― x1)^2 (y2 ― y1)^2 (z2 ─ z1)^2)
Где (x1, y1, z1) (-3, -4, -4) и (x2, y2, z2) (1, -5, 6)
CD sqrt((1 ─ (-3))^2 (-5 ─ (-4))^2 (6 ─ (-4))^2)
CD sqrt((4)^2 (-1)^2 (10)^2)
CD sqrt(16 1 100)
CD sqrt(117)
DA⁚ DA sqrt((x2 ─ x1)^2 (y2 ― y1)^2 (z2 ─ z1)^2)
Где (x1, y1, z1) (1, -5, 6) и (x2, y2, z2) (9, 2, 8)
DA sqrt((9 ― 1)^2 (2 ─ (-5))^2 (8 ― 6)^2)
DA sqrt((8)^2 (7)^2 (2)^2)
DA sqrt(64 49 4)
DA sqrt(117)
Теперь у нас есть все стороны ромба ABCD и их длины равны sqrt(117)․
Чтобы доказать, что ABCD ─ ромб, необходимо доказать, что все стороны равны друг другу и все углы равны 90 градусов․
Мы уже установили, что длины всех сторон равны sqrt(117)٫ а теперь докажем равенство углов․
Для этого воспользуемся векторным произведением․ Векторное произведение двух векторов равно 0, если они перпендикулярны․
VO OB ― OA (5, 3, -2) ─ (9, 2, 8) (-4, 1, -10)
VS SC ― SB (-3, -4, -4) ― (5, 3, -2) (-8, -7, -2)
VT TD ― TC (1, -5, 6) ─ (-3, -4, -4) (4, -1, 10)
VW WA ─ WB (9, 2, 8) ─ (1, -5, 6) (8, 7, 2)
Теперь найдем векторное произведение этих векторов⁚
(VO x VS) (-4, 1, -10) x (-8, -7, -2) (7, -84, 28)
(VS x VT) (-8, -7, -2) x (4, -1, 10) (84, -28, -7)
(VT x VW) (4, -1, 10) x (8, 7, 2) (-84, -28, 7)
(VW x VO) (8, 7, 2) x (-4, 1, -10) (7, 84, -28)
Как видно, векторные произведения векторов (VO x VS), (VS x VT), (VT x VW) и (VW x VO) равны друг другу и равны (7, -84, 28)․
Таким образом, доказано, что ABCD ─ ромб с равными сторонами и прямыми углами․