Привет! Сегодня я расскажу о том, как найти разность арифметической прогрессии, чтобы значение произведения третьего и пятого членов было минимальным из возможных.Для начала вспомним формулу арифметической прогрессии⁚ an a1 (n-1)d, где an ー n-ый член прогрессии, a1 — первый член прогрессии, d ー разность прогрессии.В условии задачи сказано, что если утроить второй член прогрессии и прибавить к результату четвертый член, то получится число 8. Из этого можно записать систему уравнений⁚
3a2 a4 8, (1)
a4 a2 3d. (2)
Давайте найдем выражение для третьего члена прогрессии. Для этого подставим значения в формулу арифметической прогрессии⁚
a3 a1 2d.Теперь найдем выражение для пятого члена прогрессии⁚
a5 a1 4d.Согласно условию, нам нужно минимизировать значение произведения третьего и пятого членов прогрессии. Запишем это требование в виде уравнения⁚
a3 * a5 min.Теперь мы можем приступить к решению системы уравнений.Подставим в уравнение (1) выражения для a3 и a5⁚
(a1 2d) * (a1 4d) min.Раскроем скобки и упростим уравнение⁚
a1^2 6a1d 8d^2 min.Нам нужно минимизировать это выражение٫ так что нам нужно найти его минимальное значение. Для этого найдем его производную по переменной d и приравняем к нулю⁚
d(min) / dd (a1^2 6a1d 8d^2) 0.Упростим это уравнение⁚
6a1 16d 0.Теперь найдем выражение для a1 из уравнения (2)⁚
a4 a2 3d.Подставим в это уравнение найденное выражение для d⁚
a4 a2 ー 3a1 / 2.Теперь у нас есть уравнение для a4, в котором нет переменной d. Подставим полученное выражение для a4 в уравнение (1)⁚
3a2 a2 ー 3a1 / 2 8.Упростим это уравнение⁚
4a2 — 3a1 16.Теперь мы имеем систему уравнений⁚
6a1 16d 0, (3)
4a2 ー 3a1 16. (4)
Теперь решим эту систему методом подстановок. Подставим выражение для d из уравнения (3) в уравнение (4). Получим⁚
4a2 — 3a1 16,
4a2 ー 3*(-6a1 / 16) 16,
4a2 18a1 / 16 16,
64a2 18a1 256,
18a1 256 ー 64a1٫
82a1 256,
a1 256 / 82,
a1 ≈ 3.12.Теперь найдем значение d, подставив полученное значение a1 в уравнение (3)⁚
6a1 16d 0٫
6*3.12 16d 0,
16d -18.72,
d ≈ -1.17.
Таким образом, разность прогрессии должна быть около -1.17, чтобы значение произведения третьего и пятого членов прогрессии было минимальным из возможных.
В итоге, чтобы получить самое маленькое значение произведения третьего и пятого членов прогрессии, разность прогрессии должна быть около -1.17.