Игральная кость – это забавная игрушка‚ которая заставляет сердце биться быстрее и поддерживает азарт в груди. Недавно я экспериментировал с игральной костью‚ бросая ее дважды и считая суммарное число выпавших очков. Я заинтересовался законом распределения вероятностей случайной величины X и решил вычислить основные характеристики ⎼ математическое ожидание‚ дисперсию и стандартное отклонение.Для начала найдем все возможные суммы выпавших очков. Пусть первый бросок дал результат a‚ а второй бросок ⎼ b. Всего может выпасть 6^2 36 различных комбинаций‚ и каждая из них будет иметь свою сумму очков. Вот все возможные суммы⁚
2 1 1
3 1 2‚ 2 1
4 1 3‚ 2 2‚ 3 1
5 1 4‚ 2 3‚ 3 2‚ 4 1
6 1 5‚ 2 4‚ 3 3‚ 4 2‚ 5 1
7 1 6‚ 2 5‚ 3 4‚ 4 3‚ 5 2‚ 6 1
8 2 6‚ 3 5‚ 4 4‚ 5 3‚ 6 2
9 3 6‚ 4 5‚ 5 4‚ 6 3
10 4 6‚ 5 5‚ 6 4
11 5 6‚ 6 5
12 6 6
Теперь давайте построим закон распределения вероятностей для случайной величины X‚ которая представляет собой сумму выпавших очков. Для этого необходимо вычислить вероятность каждой суммы‚ а затем разделить ее на общее количество комбинаций.Для каждой суммы вычислим вероятность. Пусть P(X k) обозначает вероятность‚ что сумма равна k. Тогда⁚
P(X 2) 1/36
P(X 3) 2/36
P(X 4) 3/36
P(X 5) 4/36
P(X 6) 5/36
P(X 7) 6/36
P(X 8) 5/36
P(X 9) 4/36
P(X 10) 3/36
P(X 11) 2/36
P(X 12) 1/36
Теперь‚ когда у нас есть вероятности каждой суммы‚ мы можем вычислить математическое ожидание‚ дисперсию и стандартное отклонение.Математическое ожидание (среднее значение) вычисляется как сумма произведений каждой суммы и ее вероятности⁚
E(X) 2*(1/36) 3*(2/36) 4*(3/36) 5*(4/36) 6*(5/36) 7*(6/36) 8*(5/36) 9*(4/36) 10*(3/36) 11*(2/36) 12*(1/36)
Дисперсия вычисляется как сумма произведений квадратов разности каждой суммы и математического ожидания‚ умноженных на их вероятности⁚
Var(X) (2 ⎯ E(X))^2*(1/36) (3 ⎼ E(X))^2*(2/36) ... (12 ⎯ E(X))^2*(1/36)
Стандартное отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии⁚
SD(X) sqrt(Var(X))
После вычислений я получил следующие результаты⁚
Математическое ожидание E(X) 7
Дисперсия Var(X) 20.25
Стандартное отклонение SD(X) 4.5
Таким образом‚ закон распределения вероятностей случайной величины X‚ представляющей сумму выпавших очков при двух бросках игральной кости‚ позволил мне получить основные характеристики этой случайной величины. Зная вероятности каждой суммы и используя эти результаты‚ я могу легко оценить‚ какие значения выпадают с наибольшей вероятностью и насколько велик разброс этих значений относительно среднего значения.