Здравствуйте! С радостью расскажу вам о своем опыте работы с интегралом вида
\[
\int \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt[4]{x}-1}}\,dx
\]
Этот интеграл я решал несколько раз, и сейчас поделюсь с вами своим подходом к его решению.Для начала я проводил замену переменной. В данном случае, подходящей заменой будет
\[
u \sqrt[4]{x} — 1
\]
Тогда, необходимо найти производную от $u$ по $x$ и произвести обратную замену⁚
\[
du \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}dx \\
dx 4\sqrt[4]{x^3}du
\]
Теперь мы можем выразить наш исходный интеграл через $u$ и $du$⁚
\[
\int \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt[4]{x}-1}}dx \int \frac{{\sqrt{x}}}{{u}}4\sqrt[4]{x^3}du 4 \int \frac{{x^{\frac{3}{4}}}}{u}du
\]
Мы видим, что в числителе у нас оказалась степень $x$ и похоже, что мы сможем ее упростить; Воспользуемся тут свойствами корней⁚
\[
x^{\frac{3}{4}} (x^{\frac{1}{4}})^3 u^3
\]
Теперь наш интеграл принимает вид⁚
\[
4 \int \frac{{u^3}}{u}du 4 \int u^2 du 4 \frac{{u^3}}{3} C \frac{{4u^3}}{3} C
\]
Осталось вернуться к исходной переменной⁚
\[
\frac{{4u^3}}{3} C \frac{{4(\sqrt[4]{x} — 1)^3}}{3} C
\]
Это и будет ответом на данный интеграл.
Надеюсь, что мой опыт решения этого интеграла будет вам полезен! Удачи в изучении математики!