Привет! Сегодня я расскажу тебе о том, как исследовать функции на непрерывность. В качестве примера возьмем функцию⁚
𝑓(𝑥) {
cos 𝑥 , 𝑥 ≤ 0,
𝑥^2 1, 0 < 𝑥 < 1
𝑥, 𝑥 ≥ 1. Для начала, нам необходимо определить область определения функции. В данном случае, 𝑓(𝑥) определена для всех значений 𝑥, так как нет никаких ограничений на 𝑥. Далее, нам нужно проверить непрерывность функции в каждой точке ее области определения. Для этого нужно сравнить левосторонний и правосторонний пределы в каждой точке. В точках 𝑥 ≤ 0 у нас используется функция cos 𝑥. Функция cos 𝑥 является непрерывной на всей числовой прямой, поэтому в точках 𝑥 ≤ 0 у нас нет разрывов. Более того, в этих точках функция непрерывна и совпадает со своим значением в этой точке. В точках 0 < 𝑥 < 1 у нас используется функция 𝑥^2 1. Функция 𝑥^2 1 также является непрерывной на всей числовой прямой, поэтому в этих точках у нас также нет разрывов. Функция непрерывна и совпадает со своим значением в этих точках.
В точках 𝑥 ≥ 1 у нас используется функция 𝑥. Функция 𝑥 также является непрерывной на всей числовой прямой, поэтому в этих точках нет разрывов. Функция непрерывна и совпадает со своим значением в этих точках. Таким образом, в каждой точке области определения функция 𝑓(𝑥) является непрерывной. Для построения графика функции 𝑓(𝑥) нам необходимо взять некоторые значения 𝑥 и подставить их в функцию для получения соответствующих значений 𝑓(𝑥). Затем мы можем отобразить эти точки на координатной плоскости. На графике мы видим, что в точках 𝑥 ≤ 0 значение функции равно cos 𝑥, в точках 0 < 𝑥 < 1 значение функции равно 𝑥^2 1, а в точках 𝑥 ≥ 1 значение функции равно 𝑥. Таким образом, график функции состоит из трех отрезков, каждый из которых соответствует определенному условию на 𝑥. Надеюсь, эта статья помогла тебе лучше понять, как исследовать функции на непрерывность и построить их графики.