Привет! Сегодня я расскажу тебе о том, как исследовать функцию с помощью производной и построить её график на примере функции f(x) 3x^2 ⸺ 2x^3․
Для начала, давай разберемся, что такое производная․ Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции в каждой точке графика․ Она позволяет нам определить такие характеристики функции, как её возрастание, убывание, экстремумы и выпуклость․Чтобы найти производную функции f(x) 3x^2 ⎼ 2x^3, нужно взять производную от каждого слагаемого․ В данном случае, производная первого слагаемого (3x^2) равна 6x, а производная второго слагаемого (-2x^3) равна -6x^2․ Сложив эти два слагаемых, получим производную функции f'(x) 6x ⎼ 6x^2․Теперь, когда мы нашли производную функции, можем перейти к исследованию самой функции; Для начала, найдем точки, в которых производная равна нулю․ Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение⁚
6x ⸺ 6x^2 0
Факторизуем это уравнение⁚
6x(1 ⸺ x) 0
Отсюда получаем два возможных значения x⁚ x 0 и x 1․ Затем, найдем значения функции f(x) в этих точках⁚
f(0) 3 * 0^2 ⎼ 2 * 0^3 0
f(1) 3 * 1^2 ⎼ 2 * 1^3 1
Теперь у нас есть информация о том, что функция имеет нулевые значения в точке x 0 и значение 1 в точке x 1․Далее, оценим знак производной в интервалах между найденными точками и за пределами этих точек․ Для этого выберем любую точку в каждом интервале и подставим её в производную функцию f'(x)․ Например, возьмем точку x -1⁚
f'(-1) 6 * (-1) ⸺ 6 * (-1)^2 -6 ⎼ 6 -12
Полученное значение отрицательное, что значит, что на этом интервале функция убывает․ Если мы подставим точку x 2⁚
f'(2) 6 * 2 ⸺ 6 * 2^2 12 ⸺ 24 -12
Мы получим также отрицательное значение, что означает, что функция также убывает и на этом интервале․
Из этого исследования видно, что функция f(x) 3x^2 ⎼ 2x^3 имеет максимум в точке x 1, а также является убывающей на всей числовой прямой․
Теперь давай построим график функции; У нас уже есть информация о точках, в которых функция достигает нулевых значений и максимума․ Подставим эти значения в функцию и получим координаты этих точек⁚ (0٫ 0) и (1٫ 1)․Также отметим٫ что функция убывает на всей числовой прямой․ Это означает٫ что график будет идти вниз отлева направо․ Дополнительно٫ можем нарисовать график функции в интервалах между нулями и за их пределами․Исходя из всех этих данных٫ нарисуем график функции٫ представленный ниже⁚
Таким образом, мы исследовали функцию f(x) 3x^2 ⎼ 2x^3 с помощью производной и построили её график․ Надеюсь, этот опыт был полезен для тебя!